希望杯第 七 届初二年级二试试题.doc

希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 一、 选择题: 1.化简:的结果是[ ] A．y2－x2 . B．x2－y2. C．x2－4y2. D．4x2－y2 2．已知：－1＜b＜a＜0，那么a＋b，a－b，a＋1，a－1的大小关系是 [ ] A．a＋b＜a－b＜a－1＜a＋1; B．a＋1＞a＋b＞a－b＞a－1 C．a－1＜a＋b＜a－b＜a＋1; D．a＋b＞a－b＞a＋1＞a－1 3．已知x2＋ax－12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是[ ] A．3个 B．4个. C．6个 D．8个 4．如图35，△ABC中，AB=AC，∠B=36°．D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形一共有[ ] A．3个 B．4个. C．5个 D．6个 5．如图36．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB交AB于D，∠ABC的平分线BE交CD与E，则∠BEC的大小是 [ ] A.1350-; B.1350+; C.900+; D.1800-. 6．三角形的三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1（n是自然数），这样的三角形是[ ] A．锐角三角形.B．直角三角形.C．钝角三角形.D．锐角三角形或直角三角形 7．暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的80%收费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时 [ ] A． 甲比乙低.B．乙比甲低.C．甲、乙相同.D．是甲低还是乙低，视原价而定 8.已知x为整数,且为整数,则符合条件的x的所有值的和为[ ] A．12 B．15 C．18 D．20 9．在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的大小关系是 [ ] A．AC＞2AB B．AC=2AB. C．AC≤2AB D．AC＜2AB 10．有一架不准确的天平（左臂长为a厘米，右臂长为b厘米，a≠b）某人用它来计量某件重物．先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用m1千克使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘,需用m2千克使天平平衡,于是用Q=千克估算重物的实际重量,若重物的实际重量为p千克,那么[ ] A．Q＞P B．Q=P. C．Q≤P D．Q＜P. 二、填空题 11．因式分解：a3c－4a2bc＋4ab2c=______． 12．如图37，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是______． 13.当a=时,代数式的值是__________. 14.若=1,则的值是__________. 15. 若=4,则的值是__________. 16．已知关于x的方程a（x－3）＋b（3x＋1）=5（x＋1）有无穷多个解，那么a=______，b=______． 17．如图38，ABCD是平形四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积是2平方厘米，则ABCD的面积是______． 18．如图39,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°，D在AB上，E在AC上，且使AE=EC=DE，那么AD2：BC2等于______． 19．某学校现有学生2300人，与去年相比，男生人数增加了25%，女生人数减少了25%，全校人数增加了15%，则现在全校有男生______． 20.如图40,P是等边三角形ABC中的一个点,PA=2,PB=2,PC=4,则三角形ABC的边长为____. 三、解答题 21．已知多项式x2＋ax2＋bx＋c中，a，b，c为常数，当x=1时，多项式的值是1；当x=2时，多项式的值是2；若当x是8和－5时，多项式的值分别为M与N，求M－N的值． 22．如图41，在直角∠AOB内有一点P，OP=a，∠POA=30°，过P点做一直线MN与OA、OB分别相交于M、N，使△MON的面积最小． （1）此时线段MN的位置是 [ ] A．MN⊥OP B．OM=ON. C．OM=2ON D．PM=PN （2）此时△MON的面积是______． （3）若∠AOB为一锐角，P是锐角内一定点（如图42）．过P点的直线与OA、OB交于M、N，使△OMN的面积最小，应怎样画出MN的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你的结论． 答案·提示 一、 选择题 提示： ∴选B． 2．∵－1＜b＜a＜0， ∴a＋b＜a－b． ∵b＞－1， ∴a－1＜a＋b． 又∵－b＜1， ∴a－b＜a＋1． 综上得a－1＜a＋b＜a－b＜a＋1，∴选C． 3．设x2＋ax－12能分解成两个整系数一次因式的乘积，即 x2＋ax－12=（x＋m）（x＋n），m，n是整数． ∴x2＋ax－12=x2＋（m＋n）x＋mn． ∵m，n是整数，且mn=－12． 而a=m＋n，只有6种结果，∴选C． 4．△ABC中，AB=AC，∠B=36°， ∴∠C=36°，∠A=180°－2×36°=108°． 又∠ADE=2∠BAD=∠BAD＋∠B， ∴∠BAD=∠B=36°． 同理∠EAC=∠C=36°． ∴∠ADE=∠AED=72°，∠DAE=36°． ∴∠BAE=∠CAD=72°． 于是等腰三角形有△ABC，△ADE，△ABD，△AEC，△ABE，△ADC，共6个，选D． 5．∵△ABC中，AB=AC， 又BE是∠ABC的平分线， ∵∠BEC是△BED的外角 ∴∠BEC=∠BDE＋∠DBE∴选A． 6．∵n是自然数 ∴（2n2＋2n＋1）2－（2n2＋2n）2 =[（2n2＋2n＋1）＋（2n2＋2n）][（2n2＋2n＋1）－（2n2＋2n）] =4n2＋4n＋1=（2n＋1）2 ∴三角形的三边长满足勾股定理． ∴三角形是直角三角形，选B． 7．设原价为a元．则甲旅行社收费=a＋2·70%a=2.4a．乙旅行社收费=3·80%a=2.4a． ∴选C． ∴当x－3=1或x－3=－1或x－3=2或x－3=－2时，原式的值为整数． 此时x1=4，x2=2，x3=5，x4=1． ∴x1＋x2＋x3＋x4=12，选A． 9．如图43，延长CB到D，使DB=AB，连接AD．在△ABD中，AB=BD， ∴∠BAD=∠D． 又∠ABD是△ABD的外角， ∴∠ABC=2∠D． 由已知∠ABC=2∠C， ∴∠C=∠D，△ADC是等腰三角形． ∴AD=AC． 在△ABD中，AB＋BD＞AD，即2AB＞AC，∴选（D）． 10．重物的实际重量为P． ∴Pa=m1b． ∵a≠b， ∴（a－b）2＞0． ∴Q＞P，选（A）． 二、填空题 提示： 11．a3c－4a2bc＋4ab2c=ac（a2－4ab＋4b2）=ac（a－2b）2． 12．△ABC中，∠B=70°，∠C=34°． ∴∠BAC=180°－（70°＋34°）=76°． 又AE平分∠BAC， ∴∠BAE=38°． Rt△ABD中，∠B=70°， ∴∠BAD=20°． ∴∠DAE=∠BAE－∠BAD=38°－20°=18° ∴x=|x|－1． 若x≥0，则x=x－1，矛盾． ∴x＜0． 有x=－x－1，2x=－1． ∴a≠0，b≠0． 用ab分别除原式的分子分母得 16．整理关于x的方程． a（x－3）＋b（3x＋1）=5（x＋1）． （a＋3b－5）x－（3a－b＋5）=0． ∵方程有无穷多解 17．比较△AEF和△BEF，可以看作是等高不同底的三角形． ∴S△AEF：S△BEF=AF：BF=1：2． ∴S△ABF=3（平方厘米）． 比较△ABE和△CBE，它们也是等高不同底的三角形． ∴S△ABE：S△CBE=AE：EC=2：1． SABCD=2S△ABC=9（平方厘米） 18．如图44，连接CD，在△ACD中，AE=EC=DE． ∴∠CDA=90°， △ADC是直角三角形． 又∵∠A=30°， ∴AC=2CD， 在Rt△BCD中，∠B=45°， 19．解法1：设学校现有男生x人，女生为y人，则 由①式得y=2300－x． ④ ∴x=2000（人）． 解法2：设学校去年有男生x人，女生y人，则 解得x=1600，y=400． ∴今年学校有男生1600×（1＋25%）=2000人． 20．如图45，将△BAP绕B点逆时针旋转60°，则BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处． ∴BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°． ∴△BPM是等边三角形． 在△MCP中，PC=4， ∴PC2=PM2＋MC2且PC=2MC． ∴△PCM是直角三角形，且∠CMP=90°，∠CPM=30°． 又△PBM是等边三角形，∠BPM=60°． ∴∠BPC=90°，△BPC是直角三角形． 三、解答题 21．解法1：当x=1时，1＋a＋b＋c=1， ∴a＋b＋c=0． ① 当x=2时，8＋4a＋2b＋c=2， ∴4a＋2b＋c=－6 ② 联立①，②解得 当x=8时，M=512＋64a＋8b＋c， 当x=5时，N=－125＋25a－5b＋c． ∴M－N =512＋64a＋8b＋c－(－125＋25a－5b＋c) =637＋39a＋13b =637－117＋39 =559． 解法2：同解法1得 M=512＋64a＋8b＋c，N=－125＋25a－5b＋c． M－N=637＋39a＋13b． 由②－①得3a＋b=－6， ∴M－N=637＋13（3a＋b）=637－78=559． 解法3：设P（x）=x3＋ax2＋bx＋c 则P（1）=1，P（2）=2． 又设Q（x）=P（x）－x， 则Q（1）=0，Q（2）=0． ∵Q（x）是关于x的三次多项式，可设Q（x）=（x－1）（x－2）（x－m），其中m为常数． 于是M－N=P（8）－P（－5） =[Q（8）＋8]－[Q（－5）＋（－5）] =Q（8）－Q（－5）＋13 =7.6（8－m）－（－6）·（－7）(－5－m)＋13 =336－42m＋210＋42m＋13=559． 22．（1）如图46，当PM=PN时，△MON面积最小， ∴选（D）．理由同第（3）小题． （2）由（1）知，当PM=PN时，△MON面积最小． ∵△MON是直角三角形． ∴MN=2a． 又∵∠POM=30°， ∴∠PMO=30°， （3）作法1：如图47． ①从P点作PC∥OA交OB于C．②在OB上截取CN=OC．③连接NP并延长交OA于M．则MN即为所求线段．此时，∵PC∥OM，OC=CN， ∴PM=PN． ∴△OMN面积最小． 证明：若经过F点另有一条直线EF交OA，OB于E，F（如图47）． 从N作NG∥OA交EF于G． 可证明△PEM≌△PGN． ∴S△PEM=S△PNG＜S△PNF ∴S△OMN=S四边形OEPN＋S△PEM＜S四边形OEPN＋S△PNF=S△OEF 若E′F′过点P交OA，OB于E′，F′（如图48）则作M′G′∥OB交E′F′于G′，同理可证S△OMN＜S△OEF′ ∴△OMN是符合要求的面积最小的三角形． 说明：此题的原型源于一道常见的平面几何证明题． 题目：如图49，等腰