希望杯第 九 届初二年级二试试题.doc

希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 一、选择题:（每题6分，共60分） 1．若a＋b＋c＝0，则a3＋a2c－abc＋b2c＋b3的值为[ ] A．－1. B．0. C．1. D．2 2．适合关系式｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6的整数x的值的个数是 [ ] A．0. B．1. C．2. D．大于2的自然数. 3．已知x＜0＜z，xy＞0，｜y｜＞｜z｜＞｜x｜，那么 ｜x＋z｜＋｜y＋z｜－｜x－y｜的值 [ ] A．是正数. B．是负数. C．是零. D．不能确定符号. 4.的值为[ ] A.3; B.2; C.5; D.2. 5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是 [ ] A．140°. B．80°或100°. C．100°或140°. D．80°或140° 6．如图15，ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是 [ ] A．60°; B．65°; C．70°; D．75°. 7.若对于3以外的一切实数x,等式均成立,则mn的值为[ ] A．8 B．－8. C．16 D．－16 [ ] A．15 B．18. C．24 D．27 9.在方程组中,x,y,z是互不相等的整数,则此方程组的解的组数为[ ] A．6 B．3 C．多于6 D．少于3 10．如图16，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是 [ ] A．CF＞GB B．CF＝GB. C．CF＜GB D．无法确定的 二、填空题（每题6分，共60分） 11．把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是________. 12．设实数x满足方程｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0，则x的值为________. 13.设x=,那么代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值为_________. 14. 的值为_________. 15．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°， 点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC ，则∠DCE的大小是________. 16．如图18，△ABC中，∠ABC＝45°， AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD， 交BC的延长线于F，则∠CAF的大小是________. 17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交 BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC 于H，则BM与CE的大小关系是________. 18．如图20，四边形ABCD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为______；同样，若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为_________. 19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点， 分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形 △ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为________. 20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶， 乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开 出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发 现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x＝________. 三、解答题（每小题15分，共30分）解答本题时，请写出推算过程. 21.已知n,k均为自然数,且满足不等式.若对于某一给定的自然数n,只有唯一的自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数. 22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？ 答案·提示 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 D 9 A 10 B 提示： 1．a3＋a2c－abc＋b2c＋b3 ＝（a3＋b3）＋（a2＋b2）c－abc ＝（a＋b）（a2－ab＋b2）＋（a2＋b2）c－abc ＝（a＋b）（a2＋b2）－ab（a＋b）＋（a2＋b2）c－abc ∵a＋b＋c＝0 ∴a＋b＝－c ∴原式＝－c（a2＋b2）＋abc＋（a＋b）c－abc＝0∴选B. 2．解（1）当3x－4≥0时，即3x≥4时，原式为3x－4＋3x＋2＝6. 当－2≤3x＜4时. 原式为4－3x＋3x＋2＝6，即6＝6 （2）由已知｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6＝｜（3x－4）－（3x＋2）｜ ∴（3x－4）－（3x＋2）≤0. ∴－2≤3x≤4. ∴x1＝0，x2＝1，∴选C. 3．由已知条件，可在数轴上标出x、y、z三数，如图22. ∴x＋z＞0，y＋z＜0，x－y＞0. ∴原式＝x＋z－y－z－x＋y＝0.∴选C. 5．△ABC中，若∠A＝40°，则∠B＝40°，∠C＝100°，∠C的外角为80°. 若∠C＝40°，则∠C的外角为140°.∴选D. 6．如图23，取DE的中点G，连接AG.在Rt△AED中，AG为斜边上的中线 ∴∠AGB＝∠ABG. 又 ∵AG＝GD ∴∠AGB＝2∠ADG ∵AD∥BC ∴∠ADG＝∠DBC ∴∠ABG＝∠AGB＝2∠ADG＝2∠DBC 又 ∵∠ABC＝75° ∴∠ABG＝50°，∠DBC＝25° ∴∠AED＝∠BEF＝90°－∠EBF＝90°－25°＝65°.∴选B. 8．∵1998＝2×999 9．∵x3＋y3＋z3－3xyz ＝（x＋y＋z）（x2＋y2＋z2－xy－yz－zx） ＝0. ∴x3＋y3＋z3＝3xyz ∴3xyz＝－36即xyz＝－12 ∴x，y，z中一定是两正一负，且x＋y＋z＝0 ∴x，y，z中负数的绝对值一定等于两个正数的绝对值的和. 又 ∵12＝1×1×12＝1×2×6＝1×3×4＝2×2×3 这四种组合中只有12＝1×2×4符合条件 共有6个解，选A. 10．如图24，自F作FH⊥AB交AB于H. ∵AF平分∠CAB ∴FC＝FH 又 ∵△ABC中，∠ACB＝90°CD⊥AB ∴∠ACD＝∠B ∴∠1＝∠CAE＋∠ACD,∠2＝∠FAB＋∠B ∴∠1＝∠2，FC＝CE ∴CE＝FH 又 ∵EG∥AB ∴∠CGE＝∠B 在Rt△CEG和Rt△FHB中， ∵CE＝FH，∠CGE＝∠B ∴Rt△CEG≌Rt△FHB ∴CG＝FB.∴CF＝GB，选B. 二、填空题 题号 答案 11 （x－1）2·（y－1）2 12 13 48 14 1998999.5 15 45° 16 45° 17 BM＞CE 18 1080°，（n＋1）360° 19 20 8分钟 提示： 11．(x＋y－2xy)(x＋y－2)＋(xy－1)2 ＝(x＋y)2－2xy(x＋y)－2(x＋y)＋4xy＋x2y2－2xy＋1 ＝（x＋y）2－2（x＋y）（xy＋1）＋（xy＋1）2 ＝（x＋y－xy－1）2 ＝（x－1）2·（y－1）2. 12．｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0. ∴｜x＋1｜（｜x－1｜－x）＝0. 当｜x＋1｜＝0时，得x＝－1. 当｜x－1｜－x＝0时， 得｜x－1｜＝x，若x≥1，得x－1＝x，矛盾，舍去. 14．设2000＝k 把k＝2000代入，得原式＝1998999.5 15．△ACD中，AC＝AD. 16．∵EF是AD的垂直平分线， ∴FA＝FD，∠FDA＝FAD. ∵∠FDA＝∠B＋∠BAD. ∠FAD＝∠CAF＋∠DAC. ∵AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝∠DAC ∴∠CAF＝∠B＝45°. 17．如图25延长CE交BA延长线于F. ∵∠ABE＝∠CBE. BE＝BE. ∴Rt△FBE≌Rt△CBE. 又∵∠ACF＝90°－∠F＝∠ABD.AB＝AC ∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF. 在△ABM中，∠BAM＝45°＞∠ABM. ∴BM＞AM. 在△AMD中，∠ADM＞45°＝∠DAM. ∴AM＞MD. ∴BM＞MD. 18．四边形ABCD中两个点E、F把图形分成6个三角形，这些三角形的内角和为6×180°＝1080°. 若四边形内有n个点，则以这n个点所成n个周角再加上原来四边形的内角和360°，即得 n·360°＋360°＝（n＋1）·360° 19．设AC＝x，BC＝l－x. ∵△ACD、△BCD′均为等腰直角三角形. 20．设公共汽车的速度为v1，甲的速度为v2，因为两辆车间隔距离相等，汽车与甲是追及问题，即两车之间距离为s＝10（v1－v2）.汽车与乙是相遇问题，即两车之间距离为 s＝5（v1＋3v2）. ∴10（v1－v2）＝5（v1＋3v2） ∴v1＝5v2. 三、解答题 综上得n的最大值为84，n的最小值为13. 22．每一轮三人得到的糖块数之和为 r＋q＋p－3p＝r＋q－2p 设他们共分了n轮，则 n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39. ∵39＝1×39＝3×13. 且n≠1，否则拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠39，因为每次至少分出2块糖，不可能每轮只分1块糖. ∴n＝3或n＝13. 由于每个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况得到 9＝18－np ∴np＝9 p≥1. ∴n≠13，只有n＝3. ∴p＝3. 把n＝3，p＝3代入①式得 r＋q＝19. 又乙得的糖块总数为10，最后一轮得到的糖块r－3块. ∴r－3≤10，r≤13. 若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙必定要在前两轮中再抽得一张q或r.这样乙得的总糖数一定大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙得到的糖数为10块矛盾. ∴r＞12 ∵12＜r≤13. ∴r＝13. q＝19－r＝6. 综上得 p＝3，q＝6，r＝13 甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：：