希望杯第四 届初二年级二试试题.doc

希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 一、 选择题:（每题1分，共10分） 1.若a<0,则化简得[ ] A．1 B．-1 C．2a-1 D．1-2a 2.若一个数的平方是5-2,则这个数的立方是[ ] A.或; B. 或; C. 或; D. 或. 3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=,CD=,DA=2,SΔABD=1, SΔBCD=,则 ∠ABC+∠CDA等于[ ] A．150° B．180°.C．200° D．210°． 4．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 [ ] A.7; B.8; C.9; D.10. 5．如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 [ ] A.1. B．0. C．1 .D．2． 6.设x=,y=,n为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993 成立,那么n的值为[ ] A．7. B．8. C．9. D.10 7．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是 [ ] A．0.5厘米. B．1厘米. C．1.5厘米. D．2厘米 8．方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ ] A．-2 . B．0. C．-2 . D．4． 9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇， 且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 [ ] A．15. B．16. C．17. D．18. 10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 [ ] A．a＞3. B.a≥3. C．a＜3. D．a≤3. 二、填空题（每题1分，共10分） 1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是______． 2．设x1，x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则=_______. 3.方程的解是____________. 4．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点， 如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______． 5．设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2, S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=__________. 6. 6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么[]+[]+[]+┉+[]+[]=_________. 7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且a＞b，那么两根之和超过3的方程是______． 8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______． 9．已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=______． 10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有______人． 三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分） 1． 如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由． 2.如果a=,求a2+的值. 答案与提示 一、选择题 提示： 5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)． 6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)． 7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)． 8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3． ∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)． 9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3． 同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)． 10．原方程为|3x|=ax+1． (1)若a=3，则|3x|=3x+1． 当x≥0时，3x=3x+1，不成立． (2)若a＞3． 综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)． 另解：（图象解法） 设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限． 二、填空题 提示： 1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21． 2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则 4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4． 6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452． 其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0． 8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB--AG=14-10=4． 10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有 3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ① 由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得 n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10． 但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10． ∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）． 三、解答题 1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条： OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短． 记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O． d(OABCO)-d(OACBO) =(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO) =AB+CO-AC-BO =AB+CO-AB＇-B＇C-B＇O =CO-(B＇C+B＇O)＜0 同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0． 所以路线OABCO的距离最短． 因此x与-y是关于t的方程 解二：由已知条件得 两边加上a4+1，得 显然0＜a＜1，0＜a2＜1．