希望杯第六届初二年级二试试题.doc

希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 一、选择题，以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的． 1.设x0是方程的一个不为1的根,则[ ] A．x0＞2x0＞x20. B．x20＞x0＞2x0. C．x20＞2x0＞x0. D．2x0＞x20＞x0 2．设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数是5；用a除187的余数是7．则a属于集合 [ ] A.{3,4,6}; B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35} 3．某位同学在代数变形中，得到下列四个式子： (1);(2)当x=2时,分式的值均为0; (3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xn·x-3xn+xn×=xn; (4)99972=(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9=99940009． 其中正确的个数是 [ ] A．1个. B．2个. C．3个 D．4个. 4．A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是[ ] A．C队 B．D队. C．E队 D．F队 5．如图31，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是 [ ] A.5+2; B.5+; C.3+2; D.3+. 6．如图32，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则m+n与b+c的大小关系是 [ ] A．m+n＞b+c. B．m+n=b+c . C．m+n＜b+c. D．m+n＞b+c或m+n＜b+c 7．两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为[ ] A．3. B．4. C．5. D．6. 8．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形一定是 [ ] A．两组角分别相等的四边形. B．平行四边形. C．对角线互相垂直的四边形. D．对角线长相等的四边形. 9．已知a，b，c为三个连续奇数(a＜b＜c＝，且它们均为质数，那么符合条件的三数组(a，b，c)有 [ ] A．0 组. B．1组. C．2组. D．多于2组. 10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足[ ] A.; B.; C.; D.. 二、填空题 1． 计算：1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×19961996=______． 2． 直角三角形的周长是2+,斜边的中线长为1,则它的面积为____________. 3．若x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，且2a2+3ab+b20,则分式 的值为_______. 4.设[x]表示不大于x的最大整数,如=3,则=____. 5．如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小是_____． 6．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2-a2c2-b4=0，则△ABC的形状是_____． 7．若不等式3x-a≤0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是_____． 8.如图34，△ABC中，AB＞AC，AH⊥BC，M为AH上异于A的一点，比较AB-AC与MB-MC的大小，则AB-AC_____MB-MC(填“＞”，“=”或“＜”＝． 9．方程x2-y2=1995的正整数解共有_____组． 10．设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f(x)，y除以4的余数记为g(y)．当f(x)+2g(y)=0时，x+2y的最值是_____． 三、解答题 1．(1)已知a1，a2，a3为三个整数，且a1≤a2≤a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组(a1，a2，a3)． (2)如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)共有多少组？请说明理由． 2．一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G的风景点(如图35)．现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： (a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点． (b)每条汽车线路只连结3个风景点． (c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点． (1)该旅游区应开设几条公共汽车线路？ (2)若风景点，，在一条线路上，则该公共汽车线路写成A—B—C． 试写出该旅游区完整的公共汽车线路图． 答案·提示 一、选择题 提示： 2．据题意，a可整除60，150，180．故a是60，150，180的最大公约数，a=30，选(D)． 3．显然①式不成立；在②式中，当x=-2时，分母为0，故②式不成立；当x=0时，③式不成立；只有④式成立．故选(A)． 4．每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场(即与A队赛过)，所以E队还没有与B队赛过．选(C)． 5．△ABC的周长为6，∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又∠ACB=∠CDE+∠CED ∴∠CED=30°，△BDE为等腰三解形,DE=BD= 6．如图36，在BA的延长线上取AF=AC，连接PF，在△APC和△APF中，AC=AF， ∠CAP=∠FAP，AP=AP． ∴△APC≌△APF，PC=PF ∴m+n=BP+PC=BP+PF＞BF =BA+AF=BA+AC=c+b．故选(A)． 7．如图37，可拼成4个不同的四边形，故选(B)． 8．由已知得(a-b)2+(c-d)2=0.∴a=b，c=d．如图38，四边形是由两个同底等腰三角形拼接而成，故两条对角线互相垂直，故(C)． 9．3，5，7是三个连续奇数，且均为质数，∴3，5，7为符合条件的三数组，若a＞3且a为质数，则a可分为被3除余1或2的两类． 若a=3m+1，m为自然数，则b=a+2=3m+3为合数． 若a=3m+2，m为自然数，则c=a+4=3m+6也是合数，故当a＞3时，没有符合条件的三数组，故选(B)． 角形中，根据抽屉原则，则至少有一个三角形中有两个点．那么这两个点与正方形中心连成的三角形 二、填空题 提示： 1．1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×1961996 =1995×1994×10001+1996×1995×10001-1994×1995×10001-1995×1996×10001=0 2．Rt△ABC斜边上的中线长为1，∴斜边 3．∵x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，根据余数定理知，f(-2)=0．即(-2)3+(-2)2-2a+b=0，∴b-2a=4． ∴原式=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19+10=625 5．如图40，连接AC，在△ABE和△ACF中AB=AC，∠B=60°=∠ACF，∠BAE=∠CAF=60°-∠EAC ∴△ABE≌△ACF，AE=AF，又∠EAF=60° 于是可知△AEF是等边三角形，∠AEF=60°，∠CEF=∠CEA-∠AEF，∠CEA=∠B+∠BAE=80°，∴∠CEF=20°． 6．将a4+b2c2-a2c2-b4=0因式分解得 (a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 即15≤a＜18 8．∵AH⊥BC，有AB2=AH2+BH2，AC2=AH2+HC2 ∴AB2-AC2=BH2-HC2 又MH⊥BC，同理有MB2-MC2=BH2-HC2 ∴AB2-AC2=MB2-MC2． 即(AB+AC)(AB-AC)=(MB+MC)(MB-MC) 又M点在△ABC内，∴AB+AC＞MB+MC 则AB-AC＜MB-MC 9．由x2-y2=1995得(x+y)(x-y)=1995，其中x+y，x-y分别为1995的两个约数，且x+y＞x-y，又1995=3×5×7×19，所以1995的正约数的个数有2×2×2×2=16个，共可分成8组，即： 10．x除以3的余数有三种，即余0，余1，余2． y除以4的余数有四种，即余0，余1，余2，余3． 当f(x)+2g(y)=0时，只有f(x)=0且g(y)=0， ∴ x最大取9，y最大取8，x+2y的最大值是25． 三、解答题 1．(1)由题意知a1=a2a3，a2=a1a3，a3=a1a2，三式相乘得a1a2a3=(a1a2a3)2 ∴a1a2a3=0或a1a2a3=1 即a21=0或a21=1 ∴a1=0或a1=1或a1=-1 当a1=0时，a2=a3=0 当a1=1时，a2=a3=1 当a1=-1时，a2=-1，a3=-1 ∴共有三个这样的三数组(0，0，0)，(1，1，1)，(-1，-1，-1)． (2)取a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值并按大小顺序排列，不妨设为0≤b1≤b2≤b3≤b4≤b5≤b6，则b1，b2，b3，b4，b5，b6也满足题意要求． ①若b1=0，则b2，b3，b4，b5，b6中至少有一个为0，即b2=0．由于b1=b2=0，∴b3=b4=b5=b6=0，∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=0 ②若b1≠0，则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5b6≥b2b3b4b5 ∴b1≥b2b3b4b5 又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4≤b2b3b4b5 ∴b1=b2=b3=b4=b5=b6，b1=b41，b1=1即a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值均为1，它们只能是+1或--1． i)a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件． ii)若a1，a2，a3，a4，a5，a6中有-1，则最少有2个-1，最多有5个-1． 即(-1，-1，1，1，1，1)，(-1，-1，-1，1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，-1，1)均符合条件． ∴符合条件的数组共有6组． 2．(1)应开设7条公共汽车线路． 由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过 (2)7条公共汽车线路如下： A—B—C，A—E—G，A—D—F，B—D—E，B—F—G，C—D—G，C—F—E(注：答案不唯一)． 从几何图形考虑(图41)，将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了． A—G—D，A—F—B，A—E—C，B—D—C，B—G—E，C—G—F，D—E—F．