高数重点知识.docx

第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： ①掌握求极限的各种方法． ②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法． ③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算． §1 极限的重要性质 1．不等式性质 设，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn． 设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B． 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0． 对各种函数极限有类似的性质．例如：设，且A＞B，则存在δ＞0，使得当＜δ有f（x）＞g（x）．设，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B． 2．有界或局部有界性性质 设，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n = 1，2，3，…）． 设则函数f（x）在x = x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论． §2 求极限的方法 1．极限的四则运算法则及其推广 设，则 只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设，则.（）又B≠0，则．2°设，当x→x0时局部有界，（即，使得时），则 ． 设，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即$δ＞0，b＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则 ． 3°设，，则，又$δ＞0使得0＜｜x － x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则 ． 4°设，x→x0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小．） 2．幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下是“0·∞”型未定式． 1°设 = 0（0＜｜x－｜＜δ时f（x）＞0），，则 2°设 = A＞0，A≠1， = + ∞，则 3°设 = + ∞，，则 用相消法求或型极限 利用洛必达法则求极限 分别求左、右极限的情形，分别求的情形 利用函数极限求数列极限 §3 无穷小和它的阶 1．无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的定义 （2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 其中 o（1）表示无穷小量． 在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）Þ是无穷大量．反之若u是无穷大量，则是无穷小量． 2．无穷小阶的概念 （1）定义 同一极限过程中，a（x），b（x）为无穷小， 设 定义 设在同一极限过程中a（x），b（x）均为无穷小，a（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数使得 称b（x）是a（x）的k阶无穷小，特别有，称x→x0时b（x）是（x－x0）的k阶无穷小． （2）重要的等价无穷小 x→0时 sinx ~ x，tanx ~ x，㏑（1 + x） ~ x，ex－1 ~ x； ax－1 ~ xlna，arcsinx ~ x， arctanx ~ x；（1 + x）a―1 ~ ax，1―cosx ~ ． （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1°若a ~ b，b ~ gÞa ~ g． 2° a ~ bÛa = b + o（b） 3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 §4 连续性及其判断 1．连续性概念 （1）连续的定义： 函数f（x）满足，则称f（x）在点x = x0处连续；f（x）满足（或，则称f（x）在x = x0处右（或左）连续． 若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x = a处右连续，在点x = b处左连续，则称f（x）在[a，b]上连续． （2）单双侧连续性 f（x）在x = x0处连续 Û f（x）在x = x0处既左连续，又右连续． （3）间断点的分类： 设f（x）在点x = x0的某一空心邻域内有定义，且x0是f（x）的间断点． 若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0 + 0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或f（x）在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0 + 0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点． 若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0 + 0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点． 2．函数连续性与间断点类型的判断： 若f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D上连续，即当开区间（a，b）Ì D，则f（x）在（a，b）内连续；当闭区间[c，d] Ì D，则f（x）在[c，d]上连续．若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断．当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性． 判断f（x）的间断点的类型，就是求极限． 3．有界闭区间[a，b]上连续函数的性质： 最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则存在ξ和ηÎ[a，b]，使得 f（ξ）≤f（x）≤f（η），（a≤x≤b） 有界性定理：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则存在M＞0，使得 ｜f（x）｜≤M，（a≤x≤b） 介值定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），则对f（a）与f（b）之间的任意一个数c，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f（ξ） = c 推论1（零值定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f（ξ） = 0 推论2：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且m和M分别是f（x）在[a，b]上最小值和最大值，若m＜M，则f（x）在[a，b]上的值域为[m，M]． 第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是 ①导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系． ②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求n阶导数表达式． ③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率． ④导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）． §1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1．可导与可微的定义及其联系 2．几何意义与力学意义 是曲线y = f（x）在点（x0，f(x0））处切线的斜率． 是相应于Dx该切线上纵坐标的增量． 质点作直线运动，t时刻质点的坐标为x = x(t），是t = t0时刻的速度． 3．单侧导数与双侧导数 f（x）在x = x0可导均存在且相等． 此时 §2 一元函数求导法 反函数求导法： 设f（x）在区间Ix可导，，值域区间为Iy，则它的反函数x =j（y）在Iy可导且 变限积分求导法： 设函数f（x）在[a，b]上连续，则在[a，b]上可导，且 ，（a≤x≤b） 设在[c，d]上连续，当x Î [a，b]时函数u（x），v（x）可导，且的值域不超出[c，d]，则在[a，b]上可导，且 ，（a≤x≤b） 隐函数求导法： 分段函数求导法 1°没说明对常数a，b，x≠3时f（x）均可导． 2°先由x = 3处可导求出a值，再由连续性求出b值．请看以下错误表达： “因 由得a = 6．再由连续性 f（3 + 0） = f（3－0） 即 9 = 3a + b，b=－9” 错误在于①当3a + b≠9时不存在，也不可能有． ②f（3 + 0）= f（3－0）不能保证f（x）在x = 3连续．仅当f（3 + 0） = f（3－0）= f（3）时才能保证x = 3连续． 必须先由连续性定出3a + b = 9，在此条件下就可得 高阶导数与n阶导数的求法 常见的五个函数的n阶导数公式： 第三讲 一元函数积分学 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： ①不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质． ②两个基本公式：牛顿—莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式． ③熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分． ④反常积分敛散性概念与计算． ⑤定积分的应用． §1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1．原函数与不定积分的概念及性质： （1）定义． 若F（x）的导函数在某区间上成立，则称F（x）是f（x）在该区间上的一个原函数：f（x）的全体原函数称为f（x）的不定积分，记为． （2）原函数与不定积分的关系． 若已知F（x）是f（x）的一个原函数，则 其中C是任意常数． （3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即 其中C也是任意常数． （4）不定积分的基本性质： 2．定积分的概念与性质： （1）定义． 设，若对任何 存在，则称f（x）在[a，b]上可积，并称此极限值为f（x）在 [a，b]上的定积分，记为 定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量x换为t或u等其他字母时，有 另外，约定 ． （2）可积性条件． 可积的必要条件：若f（x）在[a，b]上可积，则f（x）在[a，b]上有界． 可积函数类（可积的充分但非必要的条件）： 1°f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积； 2°f（x）在[a，b]上有界且仅有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积． （3）定积分的几何意义： 设f（x）在[a，b]上连续，则表示界于x轴、曲线y = f（x）以及直线x = a