福建省厦门市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题-文.doc

福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期期中考试 高二年文科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1. 与两数的等比中项是 A.2 B.-2 C.±2 D.以上均不是 2. 在等差数列{an}中，若a1,a4是方程x2-x-6=0的两根，则a2+a3的值为 A.6 B.-6 C.-1 D.1 3.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则f 等于 A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 4.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是 A.a＜b＜＜ B.a＜＜＜b C.a＜＜b＜ D. ＜a＜＜b 5. 在△ABC中，角A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则BC的长为 A. B.3 C. D.7 6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 7．已知数列满足，则前200项的和为 A．0 B． C． D． 8.数列{an}中，an= ,则该数列最大项是 A. B. C. D. 9. 已知且sin ,sin 2,sin 4成等比数列，则的值为 A. B. C. D. 10．方程sin2x＋sin x－1-m=0在实数集上有解，则实数m的范围为 A． B. C. D. 11.已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a的值为 A.3 B.2 C.-2 D.-3 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若2b=a+c,则角B的取值范围是 A. B. C. D. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=，b=2,则边长c的取值范围 14.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为________． 15. 等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若，则= 16.已知是方程的两根，且 则的范围 三、解答题：本大题共6小题，17题10分，16-21题各12分，22题22分，70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17．函数 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2) 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，求△ABC的面积的最大值 18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 19.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板规格 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使所用的钢板的张数最少？ 20.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5 km. (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C和景点D之间的距离．参考数据：sin75°= 21.已知函数 （1）若当时在上恒成立，求范围 （2）解不等式 22.设数列的前n项和为.已知 （I）求的通项公式； （II）若数列满足， 的前n项和 ①求 ②若对于恒成立，求与的范围 福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期期中考试 高二年文科数学试卷参考答案 一、选择题：C D B B A D B C C B B D 二、填空题： （1,3） 3 三、解答题： 17．函数 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2) 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，求△ABC的面积的最大值 解：(1) 所以最小正周期为 （2） 由得到 所以，所以 所以，，由于，所以 解得取等号，所以△ABC的面积的最大值为 18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26， 所以解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋×2＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝. 19.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板规格 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使所用的钢板的张数最少？ 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,可得且x、y都是整数,求使z=x+y取得最小值时的x、y. 首先作出可行域,其次平移直线z=x+y,可知直线经过点(),此时 x=,y=.z=x+y有最小值11,但(,)不是最优解. 首先在可行域内打网格,其次推出点A(,)附近所有整点,接着平移直线l:x+y=0,会发现当平移至B(4,8)、C(3,9)时直线与原点的距离最近,即z的最小值为12. 20.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5 km. (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C和景点D之间的距离．参考数据：sin75°= 解：(1)在△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8 km，AB＝5 km，设DB＝x km， 则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°， 即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3. ∵4＋3>8，舍去，∴x＝4－3， ∴这条公路长为(4－3)km. (2)在△ADB中，＝， ∴sin∠DAB＝＝＝， ∴cos∠DAB＝.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°， ∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]＝sin(∠DAC＋105°) ＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105°＝·＋·＝. ∴在△ACD中，＝，∴＝，∴CD＝ km. 21.已知函数 （1）若当时在上恒成立，求范围 （2）解不等式 解：（1）只需解得 （2） 当时得到 当时，化为 当时得到或 当时得到 当时得到或 当时，化为 当时得到 当时得到 当时得到 综述。。。。。。。。。。。 22.设数列的前n项和为.已知2=+3. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和，并求的范围 解：（I）因为 所以， ，故 当 时， 所以 ②由知道递增，而 当 若对于恒成立，有