第07讲-几何变换之旋转（一）.docx

几何变换之旋转（一） 第7讲 Section 1 旋转的性质 知识总结 如下图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE． 性质一：对应边相等 结论：AB=AD，AC=AE，BC=DE． 性质二：对应角相等 结论：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE． 性质三：旋转角都相等 结论：∠BAD=∠CAE=∠BFD． 证明：易证∠BAD=∠CAE， ∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D， ∴∠BAD=∠BFD． 经典例题 【例1】如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为　　． 【例2】如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若，，则线段的长度为　　． 【例3】如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为　　． 【例4】如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为　　． 【例5】如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，． （1）如图1，连接，，的延长线交于点，交于点，求证：； （2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积． Section 2 手拉手模型 知识总结 1． 构成手拉手的必要条件． 如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等） 结论：△OAC≌△OBD（SAS） 条件：四点共线，两两相等，夹角相等． 常见手拉手模型有“等边三角形手拉手”、“正方形手拉手”等． 模型一：等边三角形手拉手 （1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P： 结论一：△ACD≌△BCE． （2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N： 结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD． （3）连接MN： 结论三：△MNC是等边三角形． （4）记AD、BE交点为P，连接PC： 结论四：PC平分∠BPD． （5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°． （6）连接AE： 结论六：P点是△ACE的费马点（PA+PC+PE值最小） 模型二：正方形手拉手 如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG： 结论一：△BCE≌△DCG 证明： → △BCE≌△DCG（SAS） 结论二：BE=DG，BE⊥DG 证明：△BCE≌△DCG → BE=DG； ∠CBE＝∠CDG → ∠DHB=∠BCD=90°（旋转角都相等） 2． 模型的另一种解读． 以上条件亦可以理解为由两个相似的共点等腰三角形构造而成． 如果题目已知△ABC≌△ADE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形， 且有△ABD∽△ACE，． 经典例题 【例6】如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③，其中正确结论是　 　（填序号） 【例7】如图，在矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是　 　． 【例8】（2017·苏州）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、．若，，，则　 　（结果保留根号）． Section 3 共点旋转的构造 知识总结 【引例】如图，点在等边的内部，且，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为　 　． 搭配一：在等边△ABC中，点P是三角形内一点，若满足， 则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°． 搭配二：在等边△ABC中，若三角形内一点P满足∠APB=150°，则有． 【思考1】满足∠APB=150°的点P轨迹是？ 【思考2】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？ 作旋转之后，可得△AEP是等腰直角三角形，若使△PEB也为直角三角形， 则原∠APD=135°，而线段PA、PB、PD之间的关系为：． 搭配一：若∠APD=135°，则； 搭配二：若，则∠APD=135°． 另外，其实这个图和点C并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形． 大概如下图： 抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式． 经典例题 【例9】如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为　　 A． B． C． D． 【例10】（2018·沈阳）如图，△ABC是等边三角形，，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD=60°、∠AHC=90°时，DH=__________． 【例11】（2018 ·烟台）【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点逆时针旋转，得到△，连接，求出的度数； 思路二：将△APB绕点顺时针旋转，得到△，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】 如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【例12】（2018·广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC． （1）求∠A+∠C的度数； （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度． Section 4 费马点—60°角的共点旋转 知识总结 【引例】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 1． 结论：若△ABC内一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 则点P称△ABC的费马点，此时PA+PB+PC最小． 2． 费马点作图步骤： （1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE． （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠APB=∠BPC=∠CPA=120°． 类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD． 3． 证明：为什么是这个点？ 考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP， 则△APQ是等边三角形． △APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE． 以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE． 换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE， 显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE． 经典例题 【例13】（2019·武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______． 【例14】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．