第04讲-二次函数中的特殊角问题.docx

二次函数中的特殊角问题 第4讲 Section 1 特殊角的认识 知识总结 1． 什么是特殊角？ 说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，，而我们并不知道50°的任一三角函数值． 因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围． 2． 特殊角在坐标系中的意义 当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等． 综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°． 并且我们还可通过画图与计算得知： 即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在固定的联系：（是直线与x轴的夹角）． 3． 坐标系中特殊角的处理 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手： 思路1：构造三垂直相似（或全等）； 思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”． 【引例】如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式． 经典例题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_________． 【例2】如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标． Section 2 构造相等角 知识总结 问题：如何得到相等角？ （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 小结：想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 经典例题 【例3】如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标． 【例4】如图，已知抛物线经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5】如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． Section 3 构造半角、二倍角 知识总结 关于半角或二倍角的构造： tan15°： tan22.5°： 一般半角三角函数值求法： 一般二倍角函数值求法： 经典例题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标． 【例7】在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图像经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图像上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．