第13讲-二次函数综合（一）-参考答案.docx

【例1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，用宽为4个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接、． ①若点的横坐标为，求面积的最大值，并求此时点的坐标； ②直尺在平移过程中，面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）抛物线解析式为； （2）由题意可得点P坐标为，点Q坐标为， 则直线PQ的解析式为， 设点D坐标为，过点D作DH⊥x轴交直线PQ于点H， 则H点坐标为，可得：， ∴， 当时，可得△DPQ面积取到最大值8， 此时点D坐标为． （3）设点P坐标为，则点Q坐标为， 化简得点Q，则PQ中点M坐标为， 当点D横坐标为p+2时，连接DM，DM⊥x轴，且此时△DPQ面积最大， 点D坐标为，化简得点D， ∴此时， ∴△DPQ的最大面积为， ∴在直尺平移的过程中，△DPQ面积的最大值为8． 【例2】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）动点以相同的速度从点同时出发，分别在线段，上向点，方向运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点 ①当四边形为矩形时，求点的坐标； ②过点作于点，连接，，，设的面积为，的面积为，当将的面积分成两部分时，请直接写出的值． ③连接，，请直接写出的最小值． 【分析】（1）抛物线解析式：，顶点D的坐标为； （2）①若四边形OQEP为矩形，则OQ=PE，设点P坐标为，则OQ=OP=m， 此时点E坐标为，∴， 若OQ=PE，则，解得：，（舍）， 故点E坐标为； ②，， ∵PB=CQ，∴，故求出点M坐标即可． 记PE与BC交于点N， 情况一：如图，若， 即BN:CN=1:3，可得点P坐标为，点E坐标为，点N坐标为， ，故点M到直线PE的距离为， 即点M的横坐标为，代入直线BC的解析式得点M坐标为， ∴； 情况二：若， 则BN:CN=3:1，可得点P坐标为，故点E坐标为，点N坐标为， 点M到PE的距离等于， ∴点M的横坐标为，代入BC的直线解析式可得点M的坐标为, ∴， 综上，的值为或15． ③法一：作点D关于y轴的对称点，则，又CP=QB， ∴，∴当、Q、B共线时，可得最小值为． 法二：设点P坐标为，则点Q坐标为，则，， ，如下图构造，最小值即． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点， ①连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）抛物线解析式为； （2）①分别过D、B作x轴的垂线交AC于点N、M，则， ∵点B坐标为，故点M坐标为，∴， 设点D坐标为，则点N坐标为， ∴， 若取最大值，即DN取最大值即可， 当时，DN取到最大值2， 此时，故的最大值为． ②记，有，易得，即△CDF中有一个角的正切值为． 情况一：若，如下图， 过点C作CQ∥x轴，则∠ACQ=∠BAC，∵∠ACD=2∠BAC， ∴∠DCQ=∠BAC，∴，即， 又点C坐标为，∴直线CD解析式为， 联立方程：，解得：，， 故此时点D的横坐标为-2． 情况二：若，则， 过点A作AM⊥AC与CD延长线交于点M，过点M作MN⊥x轴交x轴于点N， 易证△MNA∽△ABC，且， 又AO=4，OC=2，∴，， ∴点M的坐标为，直线CM的解析式为， 联立方程：，解得：，， 故此时点D的横坐标为， 综上所述，点D的横坐标为或． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，将抛物线的对称轴绕着点顺时针旋转后与该抛物线交于、两点，点是该抛物线上一点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图①，若点在直线的下方，求点到直线的距离的最大值； （3）如图②，若点在轴左侧，且点，是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的的值． 【分析】 （1）直线AB解析式：； （2）过点Q作QH⊥AB交AB于点H，过点Q作QM⊥x轴交AB于点M， 则△QHM是等腰直角三角形，故，若QH最大，即QM最大即可， 设点Q坐标为，则点M坐标为， 故，当时，QM取到最大值， 此时， 故点Q到直线AB的距离的最大值为． （3）∵∠PAT=45°，∴在△BPQ中必有一角为45°，考虑∠BPQ≠45°， 情况一：∠PBQ=45°，此时BQ∥x轴，则△BPQ是等腰直角三角形， 故△PAT为等腰直角三角形， 若∠PTA=90°，则PT=AT=1，故t的值为1； 若∠PAT=90°，则，故t的值为0； 情况二：若∠PQB=45°，过点B作BN⊥y轴交y轴于点N， 以点N为圆心，NB为半径作圆，与抛物线交点即为满足条件的点Q，其中一个是情况一中的点Q，此处不再讨论． 设点Q坐标为，则，又BN=2， ∴，解得：，（舍）， 故点Q坐标为，此时，， ∴， ∴或， ∵，∴可得或， 对应的t的值分别为和， 综上所述，t的值为1或0或或．