第01讲-特殊三角形存在性问题.docx

特殊三角形存在性问题 第1讲 Section 1 等腰三角形存在性问题 知识总结 【引例】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），求x轴上一点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 以点为例，具体求点坐标： 过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又，∴， 故点坐标为． 类似可求点、、．关于点考虑另一种方法． 【代数法】点-线-方程 表示点：设点坐标为，又A（1,1）、B（4,3）， 表示线段： 联立方程：，解得：， 故点坐标为． 经典例题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点 、，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由． 【例2】如图，已知二次函数的图像与轴相交于， 两点，与轴相交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与线段交于点，连接．当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【例3】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动（点不与点和点重合），设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接交于点，当是等腰三角形时，直接写出的值． Section 2 直角三角形存在性问题 知识总结 【引例】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】“两线一圆” （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直． 求法相同，如下： 【代数法】点-线-方程 不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 经典例题 【例4】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式． （2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标． 【思】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．