第08讲-几何变换之旋转（二）.docx

几何变换之旋转（二） 第8讲 Section 1 三垂直模型 知识总结 三、三垂直模型 1． 模型介绍 △ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E，则△ADC≌△CEB． 证明： → △ADC≌△CEB（AAS） 总结：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直） 【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？ 【弱化条件】 （1）如果没有等腰？ 依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等． 如图，有△ADC∽△CEB． 特别地，若点C为BD中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB． （2）如果没有直角？ 直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型 2． 模型构造 （1）当图形中存在等腰直角时，可构造得三垂直全等； （2）当图形中存在直角时，可构造得三垂直相似； （3）当图形中存在特殊角时，可构造三垂直． 【引例1】如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是　　 A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【引例2】如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转得到直线CD，且，求直线CD解析式． 3． 模型理解 构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换，另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，尤其在坐标系中，更方便计算． 经典例题 【例1】如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【例2】如图，已知A（0，3）、B（4，0），点C在第一象限，且，，则直线OC的函数表达式为___________________． 【例3】（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC=5，，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为_______． 【例4】如图，正方形和，，，连接，．若绕点旋转，当最大时，　　． 【例5】（2016·河南）如图，在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接、．若为直角三角形，则的长　 　． Section 2 半角模型 知识总结 1． 90°+45°模型． 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF． 【两个基本结论】 结论1：EF=BE+DF． 证明：延长CD至点G使得DG=BE【截长】 易证：△ABE≌△ADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45° 易证：△AFE≌△AFG（SAS）→ EF=GF 综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF． 若E、F分别在CB、DC延长线上时，结论变为：EF=DF-BE． 证明：在DC上取点G使得DG=BE【补短】 易证：△ABE≌△ADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45° 易证：△AEF≌△AGF（SAS）→ EF=GF 综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE 【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角．此处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补． 结论2：连接AD，与AE、AF分别交于M、N，则：． 证明：构造△ADM’≌△ABM → AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’ 易证：△AMN≌△AM’N（SAS）→ MN=M’N 易证：△M’DN是直角三角形 → → ． 【两个常用结论】 结论3：若，则点F是CD边中点．反之亦然． 结论4：过点A作AH⊥EF交EF于H点，则△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF． 另外还可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE． 注意：若AE平分∠BEF，则可推∠EAF=45°． 2． 120°+60°模型 （1）如图，△ABC是等边三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直线AB、AC上且∠EDF=60° 结论：EF=BE+CF （2）若点F在AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系？ 经典例题 【例6】（2016·徐州）如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上，若，则的周长等于　　． 【例7】如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的长为　 　． 【例8】如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，，现在有如下4个结论：①；②；③；④． 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【例9】如图，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，与交于点，延长交于点，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）已知正方形的边长为1，点在运动过程中，的长能否为？请说明理由． Section 3 另类旋转—弦图的应用 知识总结 在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC． 稍作变形，若DE⊥AF，则可得：△DAE≌△ABF．（证明思路类似三垂直模型） 一般地，在正方形ABCD中，若MN⊥PQ，则必有MN=PQ． 法一：分别将PQ、MN平移至AF、DE位置（作平行线）证明AF=DE即可． 法二：过点P作PE⊥BC，过点N作NF⊥AB交AB于点F，易证△PEQ≌△NFM． 反之，若已知PQ=MN，但不一定存在PQ⊥MN． 如下：EF=PQ=MN，但EF不与MN垂直． 由位置关系可推数量关系，但由数量关系未必可推位置关系． 其他结论： （1）弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分． 将正方形ABCD沿MN折叠，则且⊥MN． （2）弦图与辅助圆：垂足H轨迹是个圆弧（定边对直角） 以AD中点M为圆心，MA为半径的圆，两端分别的点A及对角线交点O． 经典例题 【例9】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　 【例10】（2018·宿迁）如图，在边长为1的正方形中，动点、分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点、重合），点落在点处，与交于点，设． （1）当时，求的值； （2）随着点在边上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （3）设四边形的面积为，求与之间的函数表达式，并求出的最小值．