第10讲-圆综合.docx

圆综合 第10讲 Section 1 弧中点的应用 知识总结 1． 与垂径定理相关 若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线． 变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线． 2． 与圆周角定理相关 若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB． 特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°． 若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB． 可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC． 可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 3． 垂径定理与圆周角定理结合 如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC． 以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形． 经典例题 【例1】如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【例2】如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【例3】如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足． （1）求证：是的切线； （2）弦交于点，若，求的长． 【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BE＝8，，求DG的长， Section 2 圆中线段的计算 知识总结 1． 线段的计算——勾股定理 【例5】如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 2． 线段的计算——三角函数 【例6】如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 【例7】如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求点到的距离． 3． 线段的计算——相似三角形 【例8】如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，过点的切线交于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． Section 3 圆中的相似 知识总结 1． 基本相似模型 （1）射影定理 如图，AB是直径，CD⊥AB．则：； ； ． （2）母子型相似 如图，若∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB．． 经典例题 【例9】如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为　 　． 【例10】如图，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，作直径，过点的切线交的延长线于点，作于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）当且时，求劣弧的长度． 【例11】（2019·苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值．