2022年全国统一高考理科数学答案（全国甲卷）.docx

绝密绝密启用前启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码形码.2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本写在本试卷上无效试卷上无效.3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.若13iz ，则1zzz（）A.13i B.13i C.13i33 D.13i33【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】13i,(13i)(13i)1 34.zzz 13i13i1333zzz 故选：C 2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以 B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以 C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%,所以D错.故选:B.3.设全集 2,1,0,1,2,3U ，集合2 1,2,430ABx xx，则()UAB（）A.1,3 B.0,3 C.2,1 D.2,0【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合 B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，2=4301,3Bx xx，所以1,1,2,3AB,所以 U2,0AB.故选：D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积242 2122V.故选：B.5.函数33cosxxyx在区间,2 2的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.详解】令 33cos,2 2xxf xx x ，则 33cos33cosxxxxfxxxf x ，所以 f x为奇函数，排除 BD；又当0,2x时，330,cos0 xxx，所以 0f x，排除 C.故选：A.6.当1x 时，函数()lnbf xaxx取得最大值2，则(2)f（）A.1 B.12 C.12 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知()12f=-，10f 即可解得,a b，再根据 fx即可解出【详解】因为函数 f x定义域为0,，所以依题可知，()12f=-，10f，而 2abfxxx，所以2,0bab，即2,2ab ，所以 222fxxx，因此函数 f x在0,1上递增，在 1,上递减，1x 时取最大值，满足题意，即有 112122f 故选：B.7.在长方体1111ABCDABC D中，已知1B D与平面ABCD和平面11AAB B所成的角均为30，则（）A.2ABAD B.AB与平面11ABC D所成的角为30 C.1ACCB D.1B D与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【解析】【分析】根据线面角定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：不妨设1,ABa ADb AAc，依题以及长方体的结构特征可知，1B D与平面ABCD所成角为1B DB，1B D与平面11AAB B所成角为1DB A，所以11sin30cbB DB D，即bc，22212B Dcabc，解得2ac 对于 A，ABa=，ADb=，2ABAD，A错误；对于 B，过B作1BEAB于E，易知BE 平面11ABC D，所以AB与平面11ABC D所成角为BAE，因为2tan2cBAEa，所以30BAE，B错误；对于 C，223ACabc，2212CBbcc，1ACCB，C 错误；对于 D，1B D与平面11BBCC所成角为1DBC，112sin22CDaDBCB Dc，而1090DBC，所以145DBCD 正确 故选：D 8.沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是 以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的 AB中点，D在AB上，CDAB“会圆术”给出AB的弧长的近似值 s 的计算公式：2CDsABOA当2,60OAAOB时，s（）A.11 3 32 B.11 4 32 C.93 32 D.94 32【答案】B【解析】【分析】连接OC，分别求出,AB OC CD，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB，又CDAB，所以,O C D三点共线，即2ODOAOB，又60AOB，所以2ABOAOB，则3OC，故23CD ，所以222311 4 3222CDsABOA.故选：B.9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A.5 B.2 2 C.10 D.5 104【答案】C【解析】【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，根据圆锥的侧面积公式可得122rr，再结合圆心角之和可将12,r r分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrSrlr甲乙，所以122rr，又12222rrll，则121rrl，所以1221,33rl rl，所以甲圆锥的高2214593hlll，乙圆锥的高22212 293hlll，所以2211222214539310112 2393r hllVVr hll甲乙.故选：C.10.椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为14，则 C 的离心率为（）A.32 B.22 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】设11,P x y，则11,Qx y，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y用1x表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：,0Aa，设11,P x y，则11,Qx y，则1111,APAQyykkxaxa，故21112211114APAQyyykkxaxaxa，又2211221xyab，则2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C的离心率22312cbeaa.故选：A.11.设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A.5 13,3 6 B.5 19,3 6 C.13 8,6 3 D.13 19,66 【答案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到3x的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可【详解】解：依题意可得0，因0,x，所以,333x，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx，,33x的图象如下所示：则5323，解得13863，即13 8,6 3 故选：C 12.已知3111,cos,4sin3244abc，则（）A.cba B.bac C.abc D.acb【答案】A【解析】【分析】由14tan4cb结合三角函数的性质可得cb；构造函数21()cos1,(0,)2f xxxx，利用导数可得ba，即可得解.【详解】因为14tan4cb,因为当0,sintan2xxxx 所以11tan44,即1cb,所以cb；设21()cos1,(0,)2f xxxx，()sin0fxxx，所以()f x在(0,)单调递增，则1(0)=04ff,所以131cos0432，所以ba,所以cba，故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3b r，则2abb_【答案】11【解析】【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3，再根据数量积的定义求出a b，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3，又1a，3b r，所以1cos1 313a bab ，所以2222222 1 311ab ba bba bb 故答案为：11 14.若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切，则m_【答案】33【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可【详解】解：双曲线22210 xymm的渐近线为yxm，即0 xmy，不妨取0 xmy，圆22430 xyy，即2221xy，所以圆心为0,2，半径1r，依题意圆心0,2到渐近线0 xmy的距离2211mdm，解得33m 或33m （舍去）故答案为：33 15.从正方体的 8个顶点中任选 4个，则这 4个点在同一个平面的概率为_【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C70n 个结果，这4个点在同一个平面的有6612m 个，故所求概率1267035mPn 故答案为：635 16.已知ABC中，点 D在边 BC上，120,2,2ADBADCDBD当ACAB取得最小值时，BD _【答案】31#1+3【解析】【分析】设220CDBDm，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm，则在ABD中，22222cos42ABBDADBD ADADBmm，在ACD中，22222cos444ACCDADCD ADADCmm，所以22222244212 14441243424211mmmACmmABmmmmmm 12442 33211mm，当且仅当311mm 即3 1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，3 1m.故答案为：31.三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 6