2023届天一大联考高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（ ）． A． B． C． D． 3．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，则=（ ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，若，则（ ） A．8 B．12 C．14 D．10 6．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（ ）. A．9 B．6 C． D． 9．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ） A． B． C． D．2 10．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ） A． B． C． D． 12．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行： 若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A．324 B．522 C．535 D．578 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设为数列的前项和，若，，且，，则________． 14．已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_________ 15．（5分）在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆相交于两点，则弦的长等于____________． 16．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足,求数列的前2020项的和． 18．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元. （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 21．（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表： 时间 人数 15 60 90 75 45 15 （1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关. 列联表如下 流动人员 非流动人员 总计 办理社保手续所需 时间不超过4天 办理社保手续所需 时间超过4天 60 总计 210 90 300 （2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 22．（10分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足． （1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解. 【题目详解】 设，由得：，即， 由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题. 2、B 【答案解析】 根据条件可知方程有且只有一个实根等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象，数形结合即可． 【题目详解】 解：因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图， 由图可知，， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题． 3、D 【答案解析】 ，，得解． 【题目详解】 ，，，所以，故选D 【答案点睛】 比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法． 4、B 【答案解析】 在上分别取点,使得, 可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案． 【题目详解】 如下图，，在上分别取点,使得, 则为平行四边形，故,故答案为B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 5、C 【答案解析】 将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示. 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则由，，得解得，， 所以．故选C． 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式. 6、B 【答案解析】 连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解． 【题目详解】 如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，因此，平面. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题． 7、C 【答案解析】 根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解. 【题目详解】 因为平面向量，满足，且， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以与的夹角为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 8、C 【答案解析】 设，，，由可得，利用定义将用表示即可. 【题目详解】 设，，，由及， 得，故， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 9、B 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【题目详解】 如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： 当时，有最大值为，即，故. . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 10、B 【答案解析】 由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可. 【题目详解】 解：显然是偶函数 所以只需时，有且只有2个零点即可 令，则 令， 递减，且 递增，且 时，有且只有2个零点， 只需 故选：B 【答案点睛】 考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题. 11、C 【答案解析】 展开式的通项为 ，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1． 所以.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 12、D 【答案解析】 因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【题目详解】 从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为: ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D. 【答案点睛】 本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题可得，解得，所以，， 上述两式相减可得，即， 因为，所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以． 14、 【答案解析】 ，可得在时，最小值为， 时，要使得最小值为，则对称轴在1的右边， 且，求解出即满足最小值为. 【题目详解】 当，，当且仅当时，等号成立. 当时，为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足 并且，即，解得. 【答案点睛】 本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题. 15、 【答案解析】 方法一：依题意，知直线的方程为，代入圆的方程化简得，解得或，从而得或，则． 方法二：依题意，知直线的方程为，代入圆的方程化简得，设，则，故. 方法三：将圆的方程配方得,其半径,圆心到直线的距离，则. 16、 【答案解析】 画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围． 【题目详解】 函数的图象如图所示： 因为方程有且只有两个不相等的实数根， 所以图象与直线有且只有两个交点即可， 当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了方程的跟与函