2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1） 2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（　　） A．2：3 B．4：9 C．4：5 D． 7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．cm B．cm C．64 cm D．54cm 8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为　 　． 10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为　 　． 11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为　 　． 12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是　 　． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为　 　． 14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式　 　． 15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是　 　． 16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为　 　． 三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分） 17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0． 18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长． 19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值． 20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … （1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是　 　； A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝ （2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为　 　米． 21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ③连接并延长BA与⊙A交于点C； ④作直线PC； 则直线PC即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC＝90°（　 　）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（　 　）（填推理的依据）． 22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长． 参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33． 23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）． （1）求k的值； （2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）． ①若m＝1，求b的值； ②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值． 24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm． 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格： x/cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 y/cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 　 　 1.66 0 （2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为　 　cm． 25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F． （1）求证：PC＝PF； （2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的长． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）． （1）当a＝1时， ①求抛物线G与x轴的交点坐标； ②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围； （2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围． 27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD． （1）如图1， ①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上． ②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为　 　． （2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD； （3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示． （1）图1中点C的坐标为　 　； （2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的　 　坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为　 　； （3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形． ①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．”　 　（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例； ②⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若a＝4，b＞0，且点C恰好落在⊙T上，直接写出t的取值范围 2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1） 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记． 2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可． 【解答】解： 过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵x轴⊥y轴， ∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°， ∴四边形MONP是矩形， ∴PM＝ON，PN＝OM， ∵P（4，3）， ∴ON＝PM＝4，PN＝3， ∴tanα＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键． 3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】把a＝1，b＝﹣1，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0， 所以方程没有实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C， ∴BC与B'C是对应边， ∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋