2016-2017学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

2016-2017学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共30分，每小题3分． 1．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 2．（3分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 3．（3分）方程x2﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列各点中，抛物线y＝x2﹣4x﹣4经过的点是（　　） A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8） 6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 7．（3分）一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（　　） A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm 8．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定 9．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 10．（3分）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（　　） V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3 P（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 A．P＝96V B．P＝﹣16V+112 C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝ 二、填空题：本题共18分，每小题3分． 11．（3分）已知∠A为锐角，若sinA＝，则∠A＝　 　度． 12．（3分）写出一个图象在二、四象限的反比例函数　 　． 13．（3分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3.2cm，则AB的长为　 　cm． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为　 　． 15．（3分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为　 　． 16．（3分）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程． 如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线． 画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB； （2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD． 所以直线AD就是过点A的圆的切线． 请回答：该画图的依据是　 　． 三、解答题：本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分． 17．（5分）计算：（）2﹣2sin30°﹣（π﹣3）0+|﹣|． 18．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD． 19．（5分）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式． 20．（5分）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果　 　． 21．（5分）已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10． （1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形面积S的最大值． 22．（5分）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC． 23．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形． （1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图1所示，则tan∠BAP的值为　 　； （2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan∠BAP的值． 24．（5分）如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2）． （1）求k与a的值； （2）若直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝有两个公共点，请直接写出b的取值范围． 25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线． （1）求证：AM是⊙O的切线； （2）若∠D＝60°，AD＝2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路． 26．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质． （1）先从简单情况开始探究： ①当函数y＝（x﹣1）+x时，y随x增大而　 　（填“增大”或“减小”）； ②当函数y＝（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y＝x的交点坐标为　 　； （2）当函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时， 下表为其y与x的几组对应值． 　x … ﹣ 0 1 2 3 4 　 … 　y … ﹣ ﹣3 1 2 3 7 　 … ①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； ②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　． 27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3的顶点为A． （1）求点A的坐标； （2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′． ①直接写出点O′和A′的坐标； ②若抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围． 28．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA＝，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系． （1）当α＝60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA＝30°可得∠APC的大小为　 　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　 　； （2）如图2，当α＝120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明； （3）PA、PB、PC满足的等量关系为　 　． 29．（8分）定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠PCB＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点． 在平面直角坐标系xOy中， （1）点A坐标为（2，2），AB⊥x轴于B点，在E（2，1），F（，），G（，）这三个点中，其中是△AOB自相似点的是　 　（填字母）； （2）若点M是曲线C：y＝（k＞0，x＞0）上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点； ①如图2，k＝3，M点横坐标为3，且NM＝NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标； ②若k＝1，点N为（2，0），且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有　 　个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）． 2016-2017学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共30分，每小题3分． 1．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 【分析】由抛物线解析式可求得其标点坐标． 【解答】解： ∵y＝（x﹣1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h． 2．（3分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB＝1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵D是边AB的中点， ∴AD：AB＝1：2， ∴＝（）2＝． 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键． 3．（3分）方程x2﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0，x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则cosC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出BC，根据余弦的定义计算即可． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴BC＝＝10， ∴cosC＝＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻对边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键． 5．（3分）下列各点中，抛物线y＝x2﹣4x﹣4经过的点是（　　） A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8） 【分析】分别计算出自变量为0、1、﹣1、和2所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣4；当x＝1时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣7；当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x﹣4＝1；当x＝2时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣8， 所以点（1，﹣7）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【分析】根据圆周角定理即可求出答案 【解答】解：∵OB＝OC ∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°， ∴由圆周角定理可知：∠A＝