2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 4．（4分）小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 7．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（　　） A． B． C．1 D．2 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　） A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 9．（4分）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为　 　cm2．（结果保留π） 10．（4分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　 　m． 11．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为　 　． 12．（4分）对于正整数n，定义F（n）＝，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝f（123）＝12+32＝10．规定F1（n）＝F（n），Fk+1（n）＝F（Fk（n））．例如：F1（123）＝F（123）＝10，F2（123）＝F（F1（123））＝F（10）＝1． （1）求：F2（4）＝　 　，F2015（4）＝　 　； （2）若F3m（4）＝89，则正整数m的最小值是　 　． 三、解答题（共13小题，满分72分） 13．（5分）计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1． 14．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE． 15．（5分）已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的实数根，求代数式的值． 16．（5分）抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式． 17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 18．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠ABE的值． 19．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值． 20．（5分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值． 21．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB＝2∠BAF． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若AB＝，AD＝2，求线段PC的长． 22．（5分）阅读下面材料： 小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答： （1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB； （2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC＝　 　；tan∠AOD＝　 　； 解决问题： 如图3，计算：tan∠AOD＝　 　． 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n）． （1）求代数式mn的值； （2）若二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值； （3）若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 24．（7分）如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α． （1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系； （2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF． ①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长； ②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S＝mn为图形W的测度面积． 例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m＝2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n＝2．则图形W的测度面积S＝mn＝4 （1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA＝OB＝1． ①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S＝　 　； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S＝　 　； （2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为　 　； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 【分析】求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可． 【解答】解：x2﹣3x﹣5＝0， △＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据三角函数的定义求解即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴sinA＝＝． 故选：A． 【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点： 正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边：斜边＝a：c． 3．（4分）若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 4．（4分）小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号， ∴抽到的座位号是偶数的概率是：＝． 故选：C． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 5．（4分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据位似变换的性质得到＝，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以＝，然后把OC1＝OC，AB＝4代入计算即可． 【解答】解：∵C1为OC的中点， ∴OC1＝OC， ∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴＝，B1C1∥BC， ∴＝， ∴＝， 即＝ ∴A1B1＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 6．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣，y2＝﹣，然