2012-2013学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷.doc

2012-2013学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．无法确定 2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（　　） A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5 3．（4分）如果⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（4分）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（5，3） B．开口向上，顶点坐标（5，3） C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3） 5．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=30°，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 6．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（　　） A．10m B．m C．15m D．m 8．（4分）如图，P为反比例函数的图象上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，6） C．（2，6） D．（﹣2，3） 9．（4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共24分，每小题4分） 10．（4分）已知，则=　 　． 11．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则tanB=　 　． 12．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为　 　． 13．（4分）如图，⊙O的弦AB=8，OD⊥AB于点D，OD=3，则⊙O的半径等于　 　． 14．（4分）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是　 　． 15．（4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为　 　；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为　 　；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为　 　．（结果都保留π） 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 16．（5分）计算：2sin60°﹣tan45°+4cos30°． 17．（5分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（1，﹣4）． （1）求这个函数的解析式； （2）求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 18．（5分）已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD=∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AD=5，AB=7，求AC的长． 19．（5分）已知反比例函数的图象经过点P（2，1）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）若点P（x1，y1），Q（x2，y2）是上述反比例函数图象上的点，且x1＜x2＜0，试比较y1与y2的大小． 四、解答题（本题共24分，每小题6分） 20．（6分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）． 21．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求BC的长． 22．（6分）小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500． 下面是他们的一次对话： 小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！” 爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元” 聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题： （1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式． （2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？ 23．（6分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． （1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点； （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 五、解答题（本题共16分，每小题8分） 24．（8分）已知抛物线上有不同的两点E（k+3，﹣k2+1）和F（﹣k﹣1，﹣k2+1）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式； （3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？ 25．（8分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF． （1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数； （2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长； （3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由． 2012-2013学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共36分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．无法确定 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴∠A=30°． 故选：C． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 2．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（　　） A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5 【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系． 【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2， ∴AE：EC=3：2， ∴AE：AC=3：5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE与EC的关系是解题关键． 3．（4分）如果⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】先求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较，得出结论． 【解答】解：∵R﹣r=3﹣1=2=d， ∴两圆内切，故选D． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）． 4．（4分）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（5，3） B．开口向上，顶点坐标（5，3） C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3） 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下． 【解答】解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3， ∴a＜0，∴开口向下， ∴顶点坐标（5，3）． 故选：A． 【点评】本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题． 5．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=30°，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 【分析】由OB=OC，∠OBC=30°，易求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BAC的度数． 【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=30°， ∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=120°， ∴∠BAC=∠BOC=60°． 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 6．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式知，骰子共有六个面，其中向上一面的数字小于3的面有1，2，故掷该骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是 =． 【解答】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，其中向上一面的数字小于3的面有1，2， ∴6个结果中有2个结果小于3，故概率为=， ∴向上一面的数字小于3的概率是， 故选：C． 【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 7．（4分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（　　） A．10m B．m C．15m D．m 【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案． 【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：， 即tan∠BAC===， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×5=10m， 故选：A． 【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB． 8．（4分）如图，P为反比例函数的图象上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，6） C．（2，6） D．（﹣2，3） 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义及△PAO的面积先求出k的值，再根据第二象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：由