2012-2013学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

2012-2013学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B．x≥ C．x≤ D．x≠﹣ 2．（4分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2+5，正确的叙述是（　　） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 3．（4分）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE：EC＝1：2，则S△AED：S△CEB为（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 4．（4分）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　） A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x﹣6＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2+3x+5＝0 5．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 6．（4分）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为（　　） A．﹣a B．a C．﹣3a D．3a 8．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（4分）计算＝　 　． 10．（4分）若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（1，m）、B（2，n），则m　 　n（填“＜”或“＝”或“＞”）． 11．（4分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　cm． 12．（4分）小聪用描点法画出了函数的图象F，如图所示．结合旋转的知识，他尝试着将图象F绕原点逆时针旋转90°得到图象F1，再将图象F1绕原点逆时针旋转90°得到图象F2，如此继续下去，得到图象Fn．在尝试的过程中，他发现点P（﹣4，﹣2）在图象　 　上（写出一个正确的即可）；若点P（a，b）在图象F127上，则a＝　 　（用含b的代数式表示）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（5分）计算：． 14．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0． 15．（5分）已知a+b＝3，求代数式a2﹣b2+2a+8b+5的值． 16．（5分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上． （1）画出与△ABC关于点O对称的△A1B1C1； （2）画出一个以点O为位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2． 17．（5分）如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长． 18．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求△BCD的面积． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（5分）已知关于x的方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 20．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）可求得m的值为　 　； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为　 　． 21．（5分）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 22．（5分）如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）延长ED交BA的延长线于F，若DF＝4，AF＝2，求BC的长． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．（7分）小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题． 作法： （1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E； （2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M； ∴点M为线段AB的二等分点． 解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹） （1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点； （2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满足下列条件的点P．（可以利用图1中的等距平行线） ①在图3中作出点P，使得PM＝PN； ②在图4中作出点P，使得PM＝2PN． 24．（8分）抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若点P（x1，b）与点Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1＜x2，PQ＝n． ①求的值； ②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是　 　． 25．（7分）如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE＝2，AB＝1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k． 解答问题： （1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为　 　；②在平移过程中，的值为　 　（用含k的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算的值； （3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算的值（用含k的代数式表示）． 2012-2013学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B．x≥ C．x≤ D．x≠﹣ 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0， 解得：x≥． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．（4分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2+5，正确的叙述是（　　） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（0，5）， ∴是抛物线y＝x2向上平移5个单位得到， 故选：A． 【点评】上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，而纵坐标发生了改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 3．（4分）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE：EC＝1：2，则S△AED：S△CEB为（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 【分析】由AD∥BC可证明△ADE∽CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论 【解答】解：∵AD∥BC． ∴△ADE∽CBE， ∴S△AED：S△CEB＝AE2：EC2， ∵AE：EC＝1：2， ∴S△AED：S△CEB＝1：4， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健． 4．（4分）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　） A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x﹣6＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2+3x+5＝0 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 【解答】解：因为方程x2﹣4x+4＝0中，a＝1，b＝﹣4，c＝4， 所以△＝b2﹣4ac＝0， 所以方程有两个相等的实数根， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 5．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB＝100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择． 【解答】解：在△OCB中，OB＝OC（⊙O的半径）， ∴∠OBC＝∠0CB（等边对等角）； ∵∠OCB＝40°，∠C0B＝180°﹣∠OBC﹣∠0CB， ∴∠COB＝100°； 又∵∠A＝∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠A＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理． 6．（4分）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可． 【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限， 只有选项D的顶点符合要求， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键． 7．（4分）已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为（　　） A．﹣a B．a C．﹣3a D．3a 【分析】已知a＜0，利用二次根式的性质化简． 【解答】解：∵a＜0 ∴＝﹣a ∴|﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a． 故选：C． 【点评】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，＝a，当a≤0时，＝﹣a． 8．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长． 【解答】解：连接AC，AG， ∵GO⊥AB， ∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB， ∵G（0，1），即OG＝1， ∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝， ∴AB＝2AO＝2， 又CO＝CG+GO＝2+1＝3， ∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2， ∵CF⊥AE， ∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以