2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案.doc

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 （2011年12月4日 上午9:00~11:00） 题号 一 （1~8） 二 总分 9 10 11 12 得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题（每题分，共分） 1. 已知关于的两个方程：①，②，其中。若方程①中有一个根是方程②的某个根的倍，则实数的值是___________。 2. 已知梯形中，//，，，，，则梯形的面积为_______________。 3. 从编号分别为，，，，，的张卡片中任意抽取张，则抽出卡片的编号都大于等于的概率为______________。 4. 将个数，，，，，，，排列为，，，，，，，，使得的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形的边长为，，分别是边，上的点，使得，，线段与相交于点，则四边形的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形中，，是内一点，使得，，，则边的长为______________。 7. 有名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得分，平局得分，负得分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第名的得分是最后五名选手的得分和的，则第名选手的得分是_________。 8. 已知，，，都是质数（质数即素数，允许，，，有相同的情况），且是个连续正整数的和，则的最小值为_________。 二、 解答题（第，题，每题分，第，题，每题分，共分） 9. 如图，矩形的对角线交点为，已知，角的平分线与边交于点，直线与相交于点，直线与相交于点M。求证：。 解 10. 对于正整数，记。求所有的正整数组，使得，且。 解 11. （1）证明：存在整数，，满足； （2）问：是否存在整数，，满足证明你的结论。 解 12. 对每一个大于的整数，设它的所有不同的质因数为，，，，对于每个，存在正整数，使得， 记例如，。 （1）试找出一个正整数，使得； （2）证明：存在无穷多个正整数，使得。 解