2011-2012学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷.doc

2011-2012学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D． 3．（4分）如果⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 5．（4分）将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是（　　） A． B．2 C． D． 6．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（4分）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 9．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=　 　度． 10．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于　 　． 11．（4分）若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是　 　cm． 12．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC=20°，点D是弧CAB上一点，若∠ABC=20°，则∠D的度数是　 　． 13．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表，则当x=　 　或　 　时，y=0． 14．（4分）我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”． 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3． （1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是　 　； （2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=　 　；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=　 　．（n为正整数） 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．（5分）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60° 16．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3． （1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 17．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，连接BD，过点C作CE⊥BD于交AB于点E，垂足为点H，若AD=2，AB=4，求sin∠BCE． 18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式． 四、解答题（本题共22分，第19、22题每小题5分，第21、22题每小题5分） 19．（5分）如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC=50m，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度． 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O． （1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BC为⊙O的切线； （3）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长． 21．（6分）某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据： 售价x（元∕件） … 30 40 50 60 … 日销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）若日销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式； （2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（5分）小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O处，两条直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点． （1）如图1，当OA=OB=2时，则a=　 　； （2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转到如图2所示的位置时，过点B作BC⊥x轴于点C，测得OC=1，求出此时点A的坐标； （3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段AB总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+nx﹣2与直线y=x﹣1交于A（﹣1，a）、B（b，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）点P（t，0）是x轴上的一个动点．过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围． 24．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G， （1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是　 　； （2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明； （3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是　 　． 25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=﹣x2+2x． （1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式． （2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2011-2012学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决． 【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查的是等式的性质： 等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等． 2．（4分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D． 【分析】根据函数的解析式直接解答即可． 【解答】解：由二次函数的解析式可知此函数的最小值是2． 故选：A． 【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知二次函数顶点式即y=a（x+h）2+k的形式． 3．（4分）如果⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】先求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较，得出结论． 【解答】解：∵R﹣r=3﹣1=2=d， ∴两圆内切，故选D． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）． 4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】设△DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【解答】解：设△DEF的面积为x， ∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的面积为4， ∴=（）2=，解得x=16． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5．（4分）将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据角的正切值=对边÷邻边求解． 【解答】解：由图可得，tanα=4÷2=2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是此题的关键． 6．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB． 【解答】解：如右图，连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AE=BE=AB， ∵OC=5，CE=2， ∴OE=3， 在Rt△AOE中，AE==4， ∴AB=2AE=8， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE． 7．（4分）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【分析】设PN=a，PM=b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式及反比例函数解析式求k的值． 【解答】解：设PN=a，PM=b， 则ab=6， ∵P点在第二象限， ∴P（﹣a，b），代入y=中，得 k=﹣ab=﹣6，故选C． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．过反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为反比例函数系数k的绝对值． 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】△AMN以AM为底边，分点N在AD上运动与在DC上运动两段，根据三角形的面积公式分别求出运动时的y与x之间的函数关系，然后根据二次函数图象与一次函数图象观察各选项中的图象即可得解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm， AD+DC=AB+AD=4+2=6cm， ∵点M以每秒1cm的速度运动， ∴4÷1=4秒， ∵点N以每秒2cm的速度运动， ∴6÷2=3秒， ∴点N先到达终点，运动时间为3秒， ①点N在AD上运动时，y=AM•AN=x•2x=x2（0≤x≤1）； ②点N在DC上运动时，y=AM•AD=x•2=x（1≤x≤3