2006—考研数一真题、标准答案及解析.doc

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题 一、填空题 （1）. （2）微分方程的通解是 . （3）设是锥面（）的下侧，则 . （4）点到平面的距离= . （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . （6）设随机变量与相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则= . 二、选择题 （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 （A） （B） （C） （D） 【 】 （8）设为连续函数，则等于 （A） （B） （C） （C） 【 】 （9）若级数收敛，则级数 （A）收敛. （B）收敛. （C）收敛. （D）收敛. 【 】 （10）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若，则. （B）若，则. （C）若，则. （D）若，则. 【 】 （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 】 （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A） （B） （C） （D） 【 】 （13）设为随机事件，且，则必有 （A） （B） （C） （D） 【 】 （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 （A） （B） （C） （D） 【 】 三 解答题 15 设区域D=,计算二重积分 . 16 设数列满足 . 求: (Ⅰ)证明存在,并求之 . (Ⅱ)计算 . 17 将函数展开成x的幂级数. 18 设函数满足等式. (Ⅰ)验证. (Ⅱ)若. 19 设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t>0都有. 证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有. 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. 22 随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数. (Ⅰ)求Y的概率密度 (Ⅱ) 23 设总体X的概率密度为, 为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计. 2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析 一、 填空题 （1）= 2 . （） （2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程. （3）设是锥面的下侧，则 补一个曲面上侧 ∴ （为锥面和平面所围区域） （为上述圆锥体体积） 而 （∵在上：） （4） (5)设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. （6） 二、 选择题 （7）设函数具有二阶导数，且，，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分.若，则 (11)设a1,a2,…,as 都是n维向量，A是m´n矩阵，则（ ）成立. (A) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关. (B) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关. (C) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关. (D) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关. 解: (A) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若a1,a2,…,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得 c1a1+c2a2+…+csas=0, 用A左乘等式两边,得 c1Aa1+c2Aa2+…+csAas=0, 于是Aa1,Aa2,…,Aas线性相关. 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. a1,a2,…,as 线性无关Û r(a1,a2,…,as )=s. 2. r(AB)£ r(B). 矩阵(Aa1,Aa2,…,Aas)=A( a1, a2,…,as ),因此 r(Aa1,Aa2,…,Aas)£ r(a1, a2,…,as ). 由此马上可判断答案应该为(A). (12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1 (A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B) 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B=PA , 1 -1 0 C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1 （13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题： 　　　　　 　　　　　 因 即 所以 应选A 三、 解答题 （18）设函数内具有二阶导数，且满足等式 （I）验证 （II）若 求函数 证：（I） （II）令 （19）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有 证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L， 都有. 证：把 得： 令 ，则 再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为 今 要求 成立，只要 我们已经证明，，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解. ① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. ② 求a,b的值和方程组的通解. 解:① 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2. 又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2. 两个不等式说明r(A)=2. ② 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A|b)= 4 3 5 -1 -1 ® 0 –1 1 –5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 ® 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4， 求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意. (21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. ① 求A的特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q TAQ=L. 解:① 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0. 属于3的特征向量:ca0, c¹0. 属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. ② 将a0单位化,得h0=(,,)T. 对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T, h2=(-,,)T. 作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0 （22）随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数. （Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ） 解： （Ⅰ） ； . 所以： 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ） . （23）设总体的概率密度为，其中是未知参数（0<<1）. 为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数.求的最大似然估计. 解：对样本按照<1或者≥1进行分类：<1，≥1. 似然函数， 在<1，≥1时， ， ，所以.