2007—考研数一真题、标准答案及解析.doc

2007年考研数学一真题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当时，与等价的无穷小量是 ( ) A. B. C. D. (2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( ) A. 若存在，则f（0）=0 B. 若 存在，则f（0）=0 C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0 (5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若，则{}必收敛 B. 若，则{}必发散 C. 若，则{}必收敛 D. 若，则{}必发散 (6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A. B. C. D. （7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A） （B） （C） （D） （8）设矩阵A=，B=，则A于B ( ) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A） (B) (C) (D) (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，，分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度为 ( ) （A） (B) (C) (D) 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） ＝_______. （12）设为二元可微函数，，则＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y＝____________. (14)设曲面：，则＝_____________. (15)设矩阵A＝，则的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量； 求矩阵. (23)设二维变量的概率密度为 求； 求的概率密度. (24)设总体的概率密度为 ,,…是来自总体的简单随机样本，是样本均值 求参数的矩估计量； 判断是否为的无偏估计量,并说明理由. 2007年考研数学一真题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （2） 当时，与等价的无穷小量是 (B) A. B. C. D. (2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 (C) A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C) A. 若存在，则f（0）=0 B. 若 存在，则f（0）=0 C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0 (5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D) A.若，则{}必收敛 B. 若，则{}必发散 C. 若，则{}必收敛 D. 若，则{}必发散 (6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B) A. B. C. D. （7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A） （B） （C） （D） （8）设矩阵A=，B=,则A于B， (B) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A） (B) (C) (D) (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，，分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度为 (A) （A） (B) (C) (D) 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （11） ＝. （12）设为二元可微函数，，则＝. (13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y＝. (14)设曲面：，则＝. (15)设矩阵A＝，则的秩为１. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为. 三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【详解】： 【详解】 【详解】 证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设 故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即 【详解】 (1) 将已知条件中代入到微分方程中，整理即可得到： (2) 解题如下 【详解】： 因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 的解. 即距阵方程组(3)有解的充要条件为 . 当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为： 当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量； 求矩阵. 【详解】： （Ⅰ）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为－2，1，1. 前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为 （Ⅱ）令矩阵，则，所以 (23)设二维变量的概率密度为 求； 求的概率密度. 【详解】： （Ⅰ），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （Ⅱ） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是 (24)设总体的概率密度为 ,,…是来自总体的简单随机样本，是样本均值 求参数的矩估计量； 判断是否为的无偏估计量,并说明理由. 【详解】： （Ⅰ）记，则 ， 解出，因此参数的矩估计量为； （Ⅱ）只须验证是否为即可，而 ，而 ，， ， 于是 因此不是为的无偏估计量.