2003—考研数一真题、标准答案及解析.doc

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） = . （2） 曲面与平面平行的切平面的方程是 . （3） 设，则= . （4）从的基到基的过渡矩阵为 . （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则 . （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O x （2）设均为非负数列，且,,,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ] （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关. (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. [ ] （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； ② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量，则 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A; (2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分） 将函数展开成x的幂级数，并求级数的和. 五 、（本题满分10分） 已知平面区域，L为D的正向边界. 试证： (1) ; (2) 六 、（本题满分10分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分） 设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数. (1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 八 、（本题满分12分） 设函数f(x)连续且恒大于零， ，， 其中， (1) 讨论F(t)在区间内的单调性. (2) 证明当t>0时， 九 、（本题满分10分） 设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵. 十 、（本题满分8分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， ， . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X的概率密度为 其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本，记 (1) 求总体X的分布函数F(x); (2) 求统计量的分布函数； (3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 2003年考研数学一真题评注 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） =. 【分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可. 【详解1】 =, 而 ，故原式= 【详解2】 因为 ， 所以原式= （2） 曲面与平面平行的切平面的方程是. 【分析】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定. 【详解】 令 ，则 ，， . 设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面平行，因此有 ， 可解得 ，相应地有 故所求的切平面方程为 ，即 . （3） 设，则= 1 . 【分析】 将展开为余弦级数，其系数计算公式为. 【详解】 根据余弦级数的定义，有 = = =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从的基到基的过渡矩阵为. 【分析】 n维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足 []=[]P，因此过渡矩阵P为：P=[[. 【详解】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为 P=[[. = （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可转化为二重积分=进行计算. 【详解】 由题设，有 = y 1 D O 1 x 【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D，再在其上积分即可. （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值 【分析】 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据，由确定临界值，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，，可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据 ，有 ，即 ，故的置信度为0.95的置信区间是 . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题. （2）设均为非负数列，且,,,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ D ] 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】 用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 充分小时），于是 可见当y=x且充分小时，；而当y= -x且充分小时，. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想. （4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关. (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关.