2010年上海市新知杯详解.doc

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷详解 解答本试卷可以使用计算器 一、 填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分） 1. 已知，则 15250 解： 即 - -47*3-18=123 故 15250 2. 满足方程的所有实数对为 （-2，-1） 解：由题意知， 故 可得 3已知直角三角形ABC中，，CD为的角平分线，则 CD= 解：令CD=x 由面积正弦定理可知 故x= 4 若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为 30 解： 故 max= 30 5 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为 解; 6 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是 6.5 解： 连接AO,OD,BO,OC 面积比如图2 所示 且已知 7整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则 -2278 解：令 p=67a, q=67b, 可知 a+b=30 由根与系数的关系可知， 设 故 p=67a=-2278 8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为 解： 9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于 1/2 解: 连结 RQ，四边形APQR为平行四边形， 易知 1=6S1+2S2 故 10设是整数，，且能被9整除，则的最小值是 8 ，最大值是 23 解：易知 a+b+c被9除余2或5或8 所以（a+b+c）min= 1+2+5=8 （a+b+c）max= 9+8+6=23 二、 解答题（每题15分，共60分） 11 ΔBDC’相似于ΔBCA 情况（1）若 DC’ ∕∕AC 令∠DAC=α,则∠BAC=∠BC’D=2α 易知AC’=C’D=CD=AC=b 显然 DC’=AC矛盾（DC’应小于AC） 情况（2）∠BC’D=∠C 又∠DC’A=∠C 故∠BC’D=∠C=900 在面积为4的直角三角形中，显然，等腰直角三角形周长最小 证法如下： 又 即 当且仅当成立 所以 12 这是一道技巧题 显然 又 即e=3 所以b+h, d+f, a+I 只能取14或3， 因为14=5+9=8+6 所以 a,e,i,b,h,d,f 必须使用数字1,2,9,5,8,6,3， c，g 只能取7,4 故的最大值取734，不考虑旋转，图2是唯一合理填法 13 将代入 ， 若有解 ， 当满足 ， 当满足 14（1）显然 所以，100,2010是好数 （2）161=7*23 除以7的余数可以是0,1,2,4 所以构造x、y时，最好让x+y除以7余3 又是平方数 可以令 易知是好数 又 所以x+y不是好数，得证。