2008—考研数一真题、标准答案及解析.doc

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。 （1）设函数则的零点个数（ ） 0 1 2 3 （2）函数在点处的梯度等于（ ） - （3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ） . . . . （4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ） 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ） 0. 1. 2. 3. （7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . （8）设随机变量，且相关系数，则（ ） . . . . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程满足条件的解是. （10）曲线在点处的切线方程为. （11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为. （12）设曲面是的上侧，则. （13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分） 求极限. (16)（本题满分10分） 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段. (17)（本题满分10分） 已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点. (18)（本题满分10分） 设是连续函数，（1）利用定义证明函数可导，且； （2）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数. (19)（本题满分10分） ，用余弦级数展开，并求的和. (20)（本题满分11分） ，为的转置，为的转置. （1）证；（2）若线性相关，则. （21）（本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 （22）（本题满分11分） 设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记 （1）求 （2）求的概率密度． （23）（本题满分11分） 设是总体为的简单随机样本.记， ， （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求. 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题 (1)【答案】 【详解】，，即是的一个零点 又，从而单调增加（） 所以只有一个零点. (2)【答案】 【详解】因为，，所以， 所以 (3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是 (4)【答案】 【详解】因为在内单调有界，且单调. 所以单调且有界. 故一定存在极限 (5)【答案】 【详解】， 故均可逆． (6)【答案】 【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为，即二次型的标准型为，而标准型的系数即为的特征值. (7)【答案】 【详解】 (8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得 所以 所以. 排除. 故选择 二、填空题 (9) 【答案】 【详解】由，两端积分得，所以，又，所以. (10) 【答案】 【详解】设，则， 将代入得，所以切线方程为，即 (11)【答案】 【详解】幂级数的收敛区间以为中心，因为该级数在处收敛，在处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为，即时级数收敛，亦即的收敛半径为2，收敛域为. 则的收敛半径为2，由得，即幂级数的收敛域为 (12)【答案】 【详解】加的下侧，记与所围空间区域为，则 (13)【答案】1 【详解】 记，，则 因为线性无关，所以可逆. 从而，即与相似. 由，得及为的特征值. 又相似矩阵有相同的特征值，故的非零特征值为1. (14)【答案】 【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 三、解答题 (15) 【详解】 方法一： 方法二： (16) 【详解】 方法一：（直接取为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算） 方法二：（添加轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算） 取为轴上从点到点的一段，是由与围成的区域 方法三：（将其拆成，前者与路径无关，选择沿轴上的直线段积分，后者化成定积分计算） 对于，因为，故曲线积分与路径无关，取到的直线段积分 所以，原式 (17) 【详解】点到面的距离为，故求上距离面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数在条件与下的最大值点和最小值点. 令 所以 由(1)(2)得，代入(4)(5)有 ， 解得 或 (18)【详解】(I) 对任意的，由于是连续函数，所以 ，其中介于与之间 由于，可知函数在处可导，且. (II) 方法一：要证明以2为周期，即要证明对任意的，都有，，则 又因为 所以 ，即 方法二：由于是以2为周期的连续函数，所以对任意的，有 即是以2为周期的周期函数. (19)【详解】 由于 所以 令，有 又，所以 (20)【详解】(I) (II) 由于线性相关，不妨设. 于是 (21)【详解】(I)证法一： 证法二：记，下面用数学归纳法证明． 当时，，结论成立． 当时，，结论成立． 假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得 故 证法三：记，将其按第一列展开得 ， 所以 即 (II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故． 由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为 所以 (III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为 为任意常数． (22)【详解】 (I) (II) 所以 (23) 【详解】 (I) 因为，所以，从而． 因为 所以，是的无偏估计 (II) 方法一：，， 所以 因为，所以， 有， 所以 因为，所以， 又因为，所以,所以 所以 . 方法二：当时 　　　　(注意和独立)