2023届吉林省白山市第七中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 2．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 3．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( ) A． B． C． D．1 5．已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( ) A． B． C． D． 6．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A．③④ B．①② C．②④ D．①③④ 7．设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C．7 D．2 8．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ） A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B．10年来全球新增装机容量连年攀升 C．10年来中国新增装机容量平均超过 D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 9．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，且，，则( ) A． B． C． D． 11．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A． B． C． D． 12．将函数f(x)=sin 3x-cos 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论： ①它的图象关于直线x=对称； ②它的最小正周期为； ③它的图象关于点(，1)对称； ④它在[]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知一组数据，1，0，，的方差为10，则________ 14．利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______ 15．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________. 16．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数. （1）时，求的单调区间； （2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围. 18．（12分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程. 19．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为. （1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度； （2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度. 20．（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下： 现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下： 假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题： （1）估计1位会员至少消费两次的概率 （2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润； （3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为，求的分布列及数学期望 21．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点 （1）求证：平面平面； （2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值 22．（10分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程. 【题目详解】 设，，其中， ，即 关于轴对称 故选： 【答案点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 2、D 【答案解析】 根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率． 【题目详解】 由题意可知，代入得：， 代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 3、B 【答案解析】 根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值． 【题目详解】 因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面， 所以平面，所以平面.在直角三角形中，， 设，则， 所以，所 以.又因为，当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 4、C 【答案解析】 试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则 ，可得： ，当且仅当时取等号，故选C． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式． 【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题． 5、B 【答案解析】 根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【题目详解】 ∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上， ∴可设双曲线的方程为，一个焦点为， ∴，∴，故的标准方程为. 故选：B 【答案点睛】 此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 6、A 【答案解析】 由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【题目详解】 由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误； ,,则,故②错误,③正确； 显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A 【答案点睛】 本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数. 7、B 【答案解析】 根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果． 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题． 8、D 【答案解析】 先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【题目详解】 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量 158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量 39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题. 9、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 10、C 【答案解析】 根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得. 【题目详解】 由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 11、C 【答案解析】 将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解. 【题目详解】 将四面体沿着劈开，展开后如下图所示： 最短路径就是的边． 易求得， 由，知 ， 由余弦定理知 其中， ∴ 故选：C 【答案点睛】 本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 12、B 【答案解析】 根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可. 【题目详解】 因为f(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确； 令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误；