2023届上海市同济大学一附中高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，以下结论正确的个数为（ ） ①当时，函数的图象的对称中心为； ②当时，函数在上为单调递减函数； ③若函数在上不单调，则； ④当时，在上的最大值为1． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，，，若，则正数可以为（ ） A．4 B．23 C．8 D．17 3．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ） A． B．2 C． D． 4．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．设，则 A． B． C． D． 6．若θ是第二象限角且sinθ =，则= A． B． C． D． 7．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A． B． C． D． 9．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（ ）   A．45 B．60 C．75 D．100 11．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（ ） A．100 B．210 C．380 D．400 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．展开式的第5项的系数为_____. 14．已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________． 15．函数过定点________. 16．已知等差数列的前n项和为，，，则＝_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程； （2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求： ①点的极角； ②面积的取值范围. 18．（12分）如图，已知抛物线：与圆： （）相交于， ， ，四个点， （1）求的取值范围； （2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标. 19．（12分）如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是． （1）求的值: （2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值． 20．（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值． 21．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④. （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 22．（10分）已知函数. （1）若是的极值点，求的极大值； （2）求实数的范围，使得恒成立. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 逐一分析选项，①根据函数的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间；④利用导数求函数在给定区间的最值. 【题目详解】 ①为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数的图象的对称中心为，正确． ②由题意知．因为当时，， 又，所以在上恒成立，所以函数在上为单调递减函数，正确． ③由题意知，当时，，此时在上为增函数，不合题意，故． 令，解得．因为在上不单调，所以在上有解， 需，解得，正确． ④令，得．根据函数的单调性，在上的最大值只可能为或． 因为，，所以最大值为64，结论错误． 故选：C 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 2、C 【答案解析】 首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可； 【题目详解】 解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8. 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 3、D 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值． 【题目详解】 解：在复平面内所对应的点在虚轴上， ，即． 故选D． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 4、B 【答案解析】 根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1． 【题目详解】 ∵是定义在R上的奇函数，且； ∴； ∴； ∴的周期为4； ∵时，； ∴由奇函数性质可得； ∴； ∴时，； ∴. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题. 5、C 【答案解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 6、B 【答案解析】 由θ是第二象限角且sinθ =知：，． 所以． 7、B 【答案解析】 分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限. 【题目详解】 因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 8、D 【答案解析】 设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以， 该金字塔的侧棱长为， 所以需要灯带的总长度约为，故选D． 9、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 10、B 【答案解析】 根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【题目详解】 由题意，． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 11、B 【答案解析】 根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【题目详解】 函数 则函数的最大值为2， 存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为：B. 【答案点睛】 这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合. 12、B 【答案解析】 设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解. 【题目详解】 设公差为，，， , . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、70 【答案解析】 根据二项式定理的通项公式，可得结果. 【题目详解】 由题可知：第5项为 故第5项的的系数为 故答案为：70. 【答案点睛】 本题考查的是二项式定理，属基础题。 14、5 【答案解析】 ，即的最大值为 15、 【答案解析】 令，，与参数无关，即可得到定点. 【题目详解】 由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关， 所有过定点. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间. 16、 【答案解析】 利用求出公差，结合等差数列的通项公式可求. 【题目详解】 设公差为，因为，所以，即. 所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①② 【答案解析】 （1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程. （2） ①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角. ②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围. 解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围. 【题目详解】 （1）因为曲线的参数方程为（为参数）， 因为则曲线的参数方程 所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆. 所以的极坐标方程为，即. （2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点 极径为，且，所以为等腰三角形， 又直线的普通方程为， 又点的极角为锐角，所以，所以， 所以点的极角为. ②解法1：直线的普通方程为. 曲线上的点到直线的距离 . 当，即（）时， 取到最小值为. 当，即（）时， 取到最大值为. 所以面积的最大值为； 所以面积的最小值为； 故面积的取值范围. 解法2：直线的普通方程为. 因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离， 因为，所以圆与直线相离. 所以圆上的点到直线的距离最大值为， 最小值为. 所以面积的最大值为； 所以面积的最小值为； 故面积的取值范围. 【答案点睛】 本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考