高等代数上_丘维声著.pdf

第二版序高等代数（上册）一大学高等代数课程创新教材的本次修订主要体现在以下几个方面。1.更加突出了“高等代数”课程的主线：研究线性空间的结构及其线性映射。几何空间是实数域上的3维线性空间。物理学科中的闵可夫斯基空间是实数域上的4维线性空间。为什么要研究维数大于4的线性空间？促使我们研究维数大于4的线性空间的动力之一是希望直接从线性方程组的系数和常数项判断方程组有无解，以及研究解集的结构。由此引出了数域K上的维向量空间K。通过研究向量空间K及其子空间的结构，我们得出了线性方程组有解的充分必要条件，并且搞清楚了齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集的结构。从几何空间，数域K上的n维向量空间K”,以及闭区间，b们上的连续函数组成的集合C，b对于函数的加法和实数与函数的数量乘法满足8条运算法则，我们抽象出线性空间的概念，研究了线性空间的结构。线性空间为数学学科、物理学科以及经济学科等众多领域提供了广阔的天地。几何空间在一条直线上的正投影，对于区间（，b)上的可微函数求导数，都保持加法和数量乘法，由此抽象出线性映射的概念。线性映射就像是在线性空间这个广阔天地里驰骋的一匹匹骏马。从几何空间中向量的内积能够统一处理有关向量的长度、两个非零向量的夹角、判断两个向量是否正交等度量问题受到启发，在实数域和复数域上的线性空间中分别引进了内积的概念，从而可以解决长度、角度、正交等度量问题。对于这种具有度量的线性空间，我们研究了它的结构，以及与度量有关的变换的性质。2.写进了作者的一些独到的科学见解。我们给出了行列式按k行（或k列）展开的拉普拉斯定理的一个比较简洁的证明，它体现了探索行列式按k行展开的公式，而不是给了公式去逻辑证明。对于sXn矩阵A,ns矩阵B,|AB|等于什么？我们通过解剖一个“麻雀”：在几何空间中，设向量a,方，c,d的右手直角坐标分别为(a1,a2,ag),(b1,b2,b3),(c1,c2,c3),(d1,d2,d3)令b1da2a3A,B=b2C2C3ba利用拉格朗日恒等式计算AB丨得到高等代数（第二版：上册）一大学高等代数课程创新教材1,21,21,21,31,22,3AB=A1,21,2+ABB+AB1,31,22,31,2由此受到启发，猜测出Binet-Cauchy公式，然后给予证明。我们运用线性空间的子空间的知识，解决了满足递推关系u(n)=au(n-1)+bu(n-2),n=2,3,的解集（定义域为自然数集N的所有复值函数形成的复数域C上的线性空间C的子集)的结构。我们运用子空间的和是直和的充分必要条件简洁地证明了下述命题的充分性：数域K上n维线性空间V上的线性变换A1,A2,A,是两两正交的幂等变换，当且仅当A1十A2十十A,是幂等变换，且rank(A1+A2+A)=rank(A)+rank(A2)+rank(A)。我们利用最小多项式刻画了线性变换A=!十B,其中B是幂零指数为L的幂零变换的充分必要条件是A的最小多项式为（入一k)。由此自然而然地引出了Jordan块的概念。我们运用商空间的理论证明了：设B是域F上r维线性空间W上的幂零变换，其幂零指数为l,则W能分解成dimW。个B一强循环子空间的直和，其中W。是B的属于特征值0的特征子空间。由此我们证明了：域F上维线性空间V上的线性变换A有Jordan标准形，当且仅当A的最小多项式m(a)在F中可以分解成一次因式的乘积。我们证明了：域F上n维线性空间V上的线性变换A的最小多项式m(入)如果在F中分解成次数都大于1的不可约多项式的乘积，那么A的最简单形式的矩阵表示是有理标准形；如果m(入)在F入中的标准分解式有一次因式，也有次数大于1的不可约因式，那么A的最简单形式的矩阵表示是广义有理标准形。3.继续保持了本套教材第一版的特色：明确主线，内容全面，理论深刻，创新亮点，强调思维，例题丰富，展示应用，可读性强。4.增加了一些例题和习题，对于增加的习题给出了详细解答。感谢本套教材的责任编辑邓婷，她为本书的出版付出了辛勤的劳动。真诚欢迎广大读者对本套教材提出宝贵意见。丘维声北京大学数学科学学院