张焕明数学教育研究文集2_张焕明著.pdf

数理化知识探索张焕明数学教育研究文集（二）张焕明著远 方 出 版 社图书在版编目（）数据张焕明数学教育研究文集 张焕明著版呼和浩特：远方出版社，（数理化知识探索）张 张 数学课教学研究中学文集 中国版本图书馆 数据核字（）第 号数理化知识探索张焕明数学教育研究文集（二）著者张焕明出版发行远方出版社社址呼和浩特市乌兰察布东路 号电话 （发行部）邮编 经销新华书店印刷廊坊市华北石油华星印务有限公司开本 字数 千印张 版次 年 月第版印次 年 月第次印刷印数 标准书号 远方版图书，版权所有，侵权必究远方版图书，印装错误请与印刷厂退换书书书前言按照国家教育部的统一部署，我国的基础教育改革工作正在逐步深入。同时，关于课程管理政策、评价制度、综合实践活动的研究，均已取得阶段性成果。新课程改革，不仅给教师带来了严峻的挑战，而且也为教师的发展提供了契机。新课程强调教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，教学过程是师生交流、共同发展的互动过程。这也意味着师生之间应该平等对话，教师将由居高临下的权威角色转向平等中的首席，教师与学生将互教互学，彼此形成一个真正的学习共同体。由此，在学生的学习过程中，自主学习、合作学习、探究性学习、研究性学习、体验性学习与实践性学习就显得格外重要，尤其是在数理化知识的汲取方面，这点就更为突出。比如研究性学习，学生要进行有效的研究，就要求作为参与者与指导者的教师首先应是研究者，具有研究的经历和体验。唯有这样，才能真正地实现让学生进行有目的的研究，并从中受益。在新课程理念的感召下，培养学生的综合能力也是大势所趋。这就要求教师必须发挥集体的智慧，改变彼此之间孤立与封闭的现象，学会与他人合作，与不同学科的教师打交道，学习其他学科的知识、思维和方法。本套丛书是从事数学、物理、化学三科教学的优秀教师教学方法与教学经验的作品集，旨在将知识与技巧融为一体，将创新思维与实践精神合而为一。在数学方面，不但涵盖了教学理论与教学策略、课堂设计与课堂评价，而且还有富于经验的教育文集；在物理方面，有解题快捷规律，也有解题障碍诊断；在化学方面，有知识要点的精析，也有新颖实用的教法，融趣味性与知识性于一体。我们期待教师从此套丛书中发现其他教师教学方面的优点，并为自己的教学提供借鉴，进而丰富教学思维和方法，发挥能动性、创造性，设计出适合所教学生的、富有个性化的教学活动。编者 年 月书书书目录第四章教材教法与学习方法研究证明浙大少年班的一个招考题从一道课本例题的教学所想到的一道课本几何题的推广一道课本练习题的推广及妙用 高中数学学法指导 函数单调性的基本问题 怎样求关于一元二次不等式有关的问题 怎样解函数图像变换题 直线与圆的基本问题 怎样用复数的代数形式解题 怎样解数列探索题 怎样用反函数的概念解题 二项式定理有哪些常见的题型 谈谈按新定义运算解题 三垂线定理及其应用 怎样求关于轴对称的题目 数学综合题解法的思路 辩证思维与数学解题 如何学好等比定理 和同学们谈谈平面几何的学习 怎样学好初中数学 怎样学好课本中的例题和习题 怎样学好数学概念 学会运用数学公式 第五章解题方法与技巧研究 用张角定理证明平面几何题 平面几何中不对称等式的 用韦达定理证平面几何题证题思路 辅助图形构造法初探 巧用柯西不等式解三角题 用结论换元法求三角数列的和与积 一类反三角函数式的证明方法 退化、简化、特殊化发现 强化法解题例说 不等式 探求中间量的一种方法 用拆项法解方程与不等式 几何根式的证明 初中数学解题中的辩证思维 解代数题的一些技巧 用代数分析法添加几何辅助线 偶质数的妙用 第六章竞赛试题与解题研究 一道数学竞赛题的背景及其推广 三道数学竞赛题的推广 在课本中寻找竞赛题的影子 从一道竞赛题的解法想到的 赋值法解竞赛题例说 数学竞赛中的方格盘问题 用转换法解数学竞赛题 类比转化与解题思路 附录发表论文与论著目录 张焕明数学教育研究文集二第四章教材教法与学习方法研究证明浙大少年班的一个招考题全日制初中几何第二册总复习题 题：经过 的平分线上一点，任作一直线与、分别相交于、，求证：等于定值。证明如图，又 ，。即 （）、均为定值，故命题得证。用这个题目来证明浙大少年班第一届的一个招考题尤为简捷。数理化知识探索题目 中，的等分线顺次与斜边 交于、，试证：（）。证明设，。由已知条件知，。由（）式得 ，上面诸式相加，得 张焕明数学教育研究文集二在 中，有 （），同理可得 把、代入，整理，得 （）（）（）（）浙江 中学教研（数学）年第期数理化知识探索櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥櫥毣毣毣毣人为什么在环境气温 下生活感到最适宜？因为人体的正常体温是 ，这个体温与 的乘积恰好是 ，而且在这一环境温度中，人体的生理功 能、生 活 节 奏 等 新 陈 代 谢 平 均 处 于 最 佳状态。张焕明数学教育研究文集二从一道课本例题的教学所想到的笔者在搞教学调查时，听了一位老师的平面几何课，课题是“圆周角”，在讲一道课本例题时处理得较好，现写出来供大家参考。例题如图，是 的高，是 的外接圆直径。求证：（几何 第二册）。这是一道用“三点法找相似三角形”来证比例式（等积式）的典型题目。当教师讲完了这道题目后，提出了这样的问题：能否将这道题目经过适当的变化，改成其它“形异质同”的题目呢？经过数分钟的学生自由讨论，加上老师的点拨启发，得出了这样一组变题：变题如 图，已 知 是 的高，是 外接圆的直径。求证：。变题如 图，已 知 是 的高，是 外接圆的数理化知识探索圆心。求证：。变题已知 是 的高，是 外接圆的半径。求证：。变题如下页图左，已知 是 的高，是 外接圆的半径。求证：。变题如图中，已知 是 的高，、是 外接圆上两点，且 的度数是。求证：。变题如图右，已知 是 的角平分线，交其外接圆于。求证：。变题已知 是 的高，且，求 外接圆的直径。变题已知 中，是角平分线，并延长交其外接圆于，且，求弦 的长。教师对这些变题的书写、讲解详略得当，多数同学只要稍加启发即可获得，通过对这道例题的变化，不但加深了对题目本身张焕明数学教育研究文集二的理解，而且培养了一题多变的能力，使学生初步掌握编题的技能和技巧。离下课只有分钟了，学生的思维逐渐趋于平静，教师小结了这节课的内容后，又提出了这样一个课外作业：这道例题不但可以变出这么多题目，而且它还是一个“定理型”题目，请同学们利用课外时间去收集、研究、整理。北京 中小学数学 年第期数理化知识探索一道课本几何题的推广统编初中几何第一册 页的例题是：已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边、分别交于、。求证：四边形 是菱形（如图）。这是一道极其平凡的题目，然而由它所引伸出来的题目却不平凡。实际上，与 的交点（垂足）就是矩形 的中心，所以可得命题过矩形 的中心引直线与边、交于、，则 。因矩形的四个顶点共圆，两条对角线、是圆的直径，是圆心，所以又可得命题、为的两条直径，直径 交弦于，交弦 于，则 （如图）。若将 命 题中 于“直 径、”改 为“弦、，但保持、都经过 的中点”这一条件，则得命题 为圆的弦，为 的中点，经过的弦、与、交于、，则 （如图）。这就是著名的蝴蝶定理。张焕明数学教育研究文集二若将 命 题 中 的 条 件“经 过”改为“不经过”，并使，则得命题如图，是圆的弦 的中点，过圆内一点引弦、与 分别交于、，、与 分别交于、，且，则 。证明设 ，。又设，。则 。化简并整理，得 （），数理化知识探索代入（）式，得（）（）。由相交弦定理，得 （）（）；（）（）（所以）（）（）（）。展开化简得（）（）。，即 。若将弦 继续外移，直至圆外面，把中点看成圆的射影，则得命题 为圆外的一条直线，引 于，过作割线、，延长 交 于，延长 交 于，则 （如图）。这是一个著名的古典平面几何题目，其证明可在一般的平面几何参考书上找到。张焕明数学教育研究文集二黑龙江 中学数学教育 年第檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺檺殣殣殣殣期自然这一巨著是用数学符号写成的。伽利略 数理化知识探索一道课本练习题的推广及妙用 初中代 数 课 本 第 三 册 第 页 中 有 这 样 一 道 练习题：解方程。对于这道名不见经传的普通练习题，很容易解得，。由此得若，则或在结论的基础上，我们很自然地会作出下列猜想性的推广：（）若（）（）（）（），则（）（）或（）（），其中（）表示关于的代数式，（）表示关于的代数式。（）若（）（）（）（），则（）（）或（）（）。（）若（）（）（）（），则（）（）或（）（），其中（）是关于的代数式。张焕明数学教育研究文集二通过解关于（）的方程，极易证明上述推广是正确的，在此从略。在验证猜想的基础上，把结论及其推广当作模式，可使许多方程获得最为简捷而又巧妙的解法。请看：例解方程 。解把原方程化为 。由（）得，或。由，解得，；由，解得，槡。经检验知，、都是原方程的解。例解方程。解原方程可化为。由（）得或。由，解得；由，解得。经检验知，原方程的解为，。例解方程 。数理化知识探索解方程两边分别减，并化为 。由（）得，或。由，解得；由，解得 。经检验知，、都是原方程的解。例解方程槡槡。解原方程可变形为槡槡。由（）得槡，或槡。由槡，解得；由槡，解得。经检验知，原方程的解是，。例解方程 。解原 方 程 可 变 形 为 张焕明数学教育研究文集二 。由（）得 ，或 。由 ，解得，；由 ，解得，。经检验知，、都是原方程的解。例解关于的方程（）（）。解原方程化为。由（）得，或。由，解得；由，解得。经检验知，、是原方程的解。例解方程（）（）。解原方程可变形为（）（）。由（）得（），或（）。数理化知识探索由（），解得；由（），解得，。经检验知，、都是原方程的解。例解方程。解原方程可化为。由（）得，或。由，解得、槡；方程 无解。经检验知，、都是原方程的解。例解方程（）（）（）。解（原方程可化为）（）。由（）（得），（或）。（方程）无解；（由），解得 。经检验知，是原方程的解。张焕明数学教育研究文集二例 解方程槡 槡槡。解原方程可化为槡 槡槡槡。由（）得槡槡，或槡槡。由槡槡，解得；由槡槡，解得。经检验知，、都是原方程的解。例 解方程。解方程两边同加上并化简，得。由（）得，或。由，解得 ；由，解得 。经检验知，、都是原方程的解。例（解方程槡槡）（槡）。解（槡）（槡），数理化知识探索（槡）（槡），（所以原方程可化为槡槡）（槡槡）槡 槡。由（）（得槡槡）槡，（或槡槡）槡。（由槡槡）槡，解得；（由槡槡）槡，解得。经检验知，、是原方程的解。例 解方程槡槡槡槡。解原方程可变形为槡槡槡槡。由（）得槡槡，或槡槡。由槡槡，解得；由槡槡，解得。张焕明数学教育研究文集二经检验知，原方程的解。例 解方程（）（）。解原方程可化为。由（）得，或。由，解得、槡；由，解得、槡。经检验知，它们都是原方程的解。例 解方程 。解原方程可变形为。由（）得，或。由，解得、；由，解得、槡。经检验知，、都是原方程的解。对于一般的一元二次方程，当不是它的解时，也 数理化知识探索可把它转化成为以上类型的方程后再给于解决。例 解方程 。解不是原方程的解，原方程化为 。由（）得，。所以原方程的解为，。例 解方程 。解移项，得 。不是原方程的解，方程两边同除以，得 。由（）得，或，。经检验知，和都是原方程的解。例 解关于的方程 。解，原方程可化为 。由（）得，或，原方程的解为，。张焕明数学教育研究文集二例 解方程 。解，原方程可变形为。，或。从而得原方程的解为、，、。例 解方程 槡。解 槡，原方程可变形为 槡 槡。槡，或 槡（舍去）。由 槡，解得，。经检验知，、是原方程的解。例 解方程（）（）（）（）。解（原方程可化为）（）。，数理化知识探索（）（）。从而解得原方程的解是、槡。对于有些方程组，也可借助于这些模型给于解决。例 解方程组槡槡，解由得槡槡。于是槡或槡，即 或 分别与联立