高职应用数学学习指导_侯谦民主编.pdf

书书书高职高专公共基础课“十二五”规划教材高职高专公共基础课“十二五”规划教材高职应用数学（学习指导）主编侯谦民副主编贺彰雄胡方富丁艳鸿陶燕芳参编郑幼浓胡芬王欣欣白薇华中科技大学出版社中国武汉内 容 提 要本书含教材和学习指导两册教材包括函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数应用，不定积分，定积分及其应用，常微分方程等六章学习指导按照教材的章节编写，各章内容分为基本要求、内容回顾、本章知识结构框图、练习题、复习题等几个部分本书由侯谦民任主编，张胜、贺彰雄、胡方富、郑幼浓任副主编，胡芬、王欣欣、陶燕芳、白薇等参编图书在版编目（）数据高职应用数学（学习指导）侯谦民主编武汉：华中科技大学出版社，高 侯 应用数学高等职业教育教材 中国版本图书馆 数据核字（）第 号高职应用数学（学习指导）侯谦民主编责任编辑：史永霞封面设计：龙文装帧责任校对：代晓莺责任监印：张正林出版发行：华中科技大学出版社（中国武汉）武昌喻家山邮编：电话：（）录排：武汉市兴明图文信息有限公司印刷：新新城际数字出版印刷技术公司开本：印张：字数：千字版次：年月第版第次印刷定价：元（含册）本书若有印装质量问题，请向出版社营销中心调换全国免费服务热线：竭诚为您服务版权所有侵权必究书书书目录第章函数、极限与连续（）一、基本要求（）二、内容回顾（）三、本章知识结构框图（）四、练习题（）练习题一函数（）练习题二常用的经济函数（）练习题三数列的极限（）练习题四函数的极限（）练习题五无穷小与无穷大（）练习题六极限的运算法则（）练习题七两个重要极限（）练习题八函数的连续性（）五、复习题一（）第章导数与微分（）一、基本要求（）二、内容回顾（）三、本章知识结构框图（）四、练习题（）练习题九导数概念（）练习题十导数的四则运算反函数的导数（）练习题十一复合函数的求导法则（）练习题十二隐函数的导数参数式函数的导数（）练习题十三高阶导数（）练习题十四函数的微分微分在近似计算中的应用（）五、复习题二（）第章中值定理与导数应用（）一、基本要求（）二、内容回顾（）三、本章知识结构框图（）四、练习题（）练习题十五微分中值定理洛必达法则（）练习题十六函数的单调性与极值（）练习题十七函数的最大值与最小值及其在经济中的应用（）练习题十八曲线的凹凸性与拐点函数作图（）练习题十九导数在经济分析中的应用（）五、复习题三（）第章不定积分（）一、基本要求（）二、内容回顾（）三、本章知识结构框图（）四、练习题（）练习题二十不定积分的概念与性质（）练习题二十一换元积分法（）练习题二十二分部积分法简单有理函数的积分（）五、复习题四（）第章定积分及其应用（）一、基本要求（）二、内容回顾（）三、本章知识结构框图（）四、练习题（）练习题二十三定积分的概念和性质（）练习题二十四微积分基本公式（）练习题二十五定积分的换元积分法和分部积分法（）练习题二十六广义积分（反常积分）（）练习题二十七定积分的应用（）五、复习题五（）第章微分方程（）一、基本要求（）二、内容回顾（）三、本章知识结构框图（）四、练习题（）练习题二十八微分方程的基本概念可分离变量的微分方程（）练习题二十九一阶微分方程（）练习题三十可降阶的二阶微分方程（）练习题三十一二阶常系数齐次线性微分方程（）练习题三十二二阶常系数非齐次线性微分方程（）五、复习题六（）部分参考答案或提示（）书书书第 1 章函数、极限与连续函数是高等数学研究的主要对象，极限是研究变量的重要工具，而连续性是函数的一个重要属性 因此，函数、极限与连续是高等数学中最重要、最基本的概念，是高等数学的理论基础一、基本要求（）理解函数的概念，了解函数的四种特性，掌握基本初等函数的性质及图像，会分析复合函数的复合过程，了解分段函数的意义，会建立简单应用问题的函数关系式（）理解极限的描述性定义，了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则及两个重要极限，了解无穷递缩等比数列的求和公式（）理解无穷大、无穷小的概念及它们之间的关系，了解无穷小的性质、无穷小的比较，会用等价无穷小求极限（）理解函数连续性的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性，知道闭区间上连续函数的性质二、内容回顾（一）函数的概念 函数的定义设和是两个变量，是一个数集 如果对于中的每一个数，按照某个对应法则，都有确定的值和它对应，那么就叫做定义在数集上的的函数，记作（）叫做自变量，叫做因变量，数集叫做函数的定义域，函数值的集合（），叫做函数的值域 函数的定义域的确定用解析式表示的函数，其定义域是使解析式有意义的一切自变量取值所构成的实数集例如：（）分式中，使分母不等于零的全体实数；（）偶次根式中，使被开方数非负的全体实数；（）对数式中，使真数大于零、底数大于零且不等于的全体实数；（）三角函数及反三角函数式中，要符合三角函数、反三角函数的定义域；（）分段函数的定义域是各个段的定义域的并集在实际问题中出现的函数，其定义域是根据问题的实际意义确定的，通常是解析式所表示的函数的定义域的子集 函数的性质（）有界性：如果存在数，使得对内任一，有（），则称函数（）在区间上有界（）单调性：对任意的、，当时，如果（）（），则称（）在区间上单调增加；如果（）（），则称（）在区间上单调减少（）奇偶性：设是关于原点对称的区间，对内任意的，如果（）（），则称（）为偶函数；如果（）（），则称（）为奇函数（）周期性：对于函数（），其定义域为，如果存在常数，对任意，只要，都有（）（），则称（）为周期函数，是（）的一个周期（）的周期通常指的是最小正周期 复合函数、初等函数（）基本初等函数：常函数（为常数）；幂函数（为常数）；指数函数（，为常数）；对数函数 （，为常数）；三角函数 ，；反三角函数 ，（）复合函数：如果是的函数（），而又是的函数（），且（）的值全部或部分在（）的定义域内，那么通过的联系也是的函数，我们称这个函数是由（）及（）复合而成的复合函数，简称复合函数，记作（），其中叫做中间变量（）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤构成，并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数（二）函数的极限 邻域设与是两个实数，且，则点的邻域为（，），即（，）（，），其中，是邻域中心，是邻域半径点的去心的邻域为（，），即（，）（，）（，）当很小时，它们表示点附近所有点的集合（后者除掉）函数的极限（）当时函数（）的极限 定义设函数（）在的某去心邻域内有定义，如果当无限接近于定值时，函数（）无限接近于一个确定的常数，那么就叫做函数（）当时的极限，记作 （）或当时，（）这里，包括从大于的方向趋近于（记作）和从小于的方向趋近于（记作）左、右极限 当（或）时，函数（）无限接近于一个确定的常数，则称为函数（）当时的左（或右）极限，左极限记作 （）或（），右极限记作 （）或（），（）（）（）极限的“局部保号性”）如果 （），且（或），则在的某去心邻域内，（）（或（）如果在的某去心邻域内（）（或（），且 （），则（或）（）当时，函数（）的极限定义：设函数（）在时有定义，如果当无限增大时，函数（）无限接近于一个确定的常数，那么就叫做函数（）当时的极限，记作 （）或当时，（）这里，包括（取正数而绝对值无限增大）和（取负数而绝对值无限增大）（）（）（）（）数列的极限 定义：如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数，那么就叫做数列的极限，或称数列收敛于，记作 或当时，这里，是指取正整数而绝对值无限增大，因此数列极限是函数极限的一种特例 性质：）如果数列收敛，那么数列一定有界；）单调有界数列必有极限（）极限的运算法则设下列极限是在自变量的同一变化过程中的极限 如果 （），（），、为常数，则）（）（）（）（）；）（）（）（）（）；）（）（）（）（）（）（）两个重要极限 ；（）或 （）无穷小与无穷大（）无穷小的定义：如果 （）（），则称函数（）是当（或）时的无穷小量，简称无穷小无穷小量一般都是变量，且与自变量的变化过程有关，是一个特殊的无穷小量（）函数极限与无穷小的关系：（）（）（）（）（）无穷小的性质：常量与无穷小的乘积仍是无穷小；有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小；有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小（）无穷大的定义：如果当（或）时，函数（）的绝对值无限增大，则称函数（）是当（或）时的无穷大量，简称无穷大，记作 （）（）（）无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，如果（）是无穷大，则（）是无穷小；反之，如果（）是无穷小，且（），则（）是无穷大（）无穷小的比较 设和都是自变量的同一变化过程中的无穷小，在这个变化过程中，如果 ，则称是较高阶的无穷小，记作（）；，则称是较低阶的无穷小；（），则称是与同阶的无穷小；，则称是与等价的无穷小，记作烅烄烆 推广：如果 （），则称是的阶无穷小 等价无穷小的重要性质：如果，且 存在，则 （）常用的极限 ，烅烄烆（三）函数的连续性 函数的增量设函数（）在点的邻域内有定义，在此邻域内，则称（）（）为函数（）在点处对应于的增量（改变量）叫做自变量的增量 可正可负 函数的连续性（）定义：设函数（）在点的某邻域内有定义，如果 （）（），则称函数（）在点处连续从几何上看，如果（）在点处连续，则曲线（）在点处不断开（）用增量定义函数的连续性 如果令，则（）（）（）（），即，（）（），即，于是极限 （）（）可写成 ，函数（）在点处连续可叙述成：设函数（）在点的某邻域内有定义，如果 （）（），则称函数（）在点处连续这表明：如果（）在点处连续，则当自变量在点处变化微小时（），相应的函数的变化也必然是微小的（）（）函数在区间上的连续性：如果函数（）在（，）内每一点都连续，则称函数（）在（，）内连续如果函数（）在（，）内连续，且在点处右连续（）（），在点处左连续（）（），则称函数（）在闭区间，上连续 函数的间断点及其分类（）间断点若函数（）有下列三种情形之一：在处无定义；（）不存在；虽然（）及 （）都存在，但 （）（），则函数（）在点处不连续，点称为函数（）的不连续点或间断点（）间断点的分类间断点第一类间断点（），（）均存在）跳跃间断点（）（），可去间断点（）（）；第 二 类 间 断 点（非第一类间断点）无穷间断点 （），振荡间断点烅烄烆烅烄烆初等函数的连续性（）如果函数（）与（）在点处连续，则（）（）、（）（）、（）（）（）在点处也是连续的该结论可推广到有限个函数的情形，对于商，要求分母不为零（）在某区间内单调连续的函数，其反函数在对应的区间上也单调连续（）设有两个函数（）和（），如果（）在点处连续，函数（）在点（）处连续，则复合函数（）在点处也连续（）基本初等函数在其定义域内是连续的（）一切初等函数在其定义区间内都是连续的“定义区间”就是包含在定义域内的区间 闭区间上连续函数的性质（）最大值、最小值定理 闭区间上连续的函数在该区间上至少取得最大值、最小值各一次（）介值定理 如果函数（）在闭区间，上连续，则它在，上一定能取到介于最大值与最小值之间的任何一个中间值（），即对任意实数（），至少存在一点，使（）推论（零点定理）如果函数（）在闭区间，上连续，且（）（），那么至少存在一点（，），使（）三、本章知识结构框图四、练习题姓名班级练习题一函数 判断题（）槡与相同（）（）（）（槡）是奇函数（）（）凡是分段表示的函数都不是初等函数（）（）（）是偶函数（）（）两个单调增函数之和仍为单调增函数（）（）复合函数（）的定义域即（）的定义域（）填空题（）函数（）为（，）内一偶函数，则它的图像关于对称（）若（）的定义域是，则（）的定义域是（）的反函数为（）（），（），则（），（）（）（）是由简单函数和复合而成的 选择题（）下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数的是（）（）（）（）（）（）设（），若（）（），则应为（）（）（）（）是（）有界函数 周期函数 奇函数 偶函数计算下列各题（）求槡 的定义域（）已知（），（），求（）（）设（），（），求（），（），（），（）（）设（），求（），（），（），并作出函数（）的图像 大成物流公司规定：路程在（单位为）以内每吨货物每千米的运价为