高等数学典型例题解析与习题精解下_徐峰范红玲付夕联主编.pdf

书书书高 等 数 学典型例题解析与习题精解（与同济第六版教材配套使用）下册主编徐峰范红玲付夕联副主编商妮娜梁家君刘宣江刘同波编委徐峰范红玲付夕联商妮娜梁家君刘宣江刘同波吕成军王效义毕玉昌张劲林雅宁巩本学巩本学郑滨【内容简介】本书是按照高等学校工科数学课程教学指导委员会颁布的教学大纲“高等数学教学基本要求”编写内容结构主要参考了同济大学数学系编 高等数学（第六版）的章节顺序本书共十二章，内容按节编写，每节分为释疑解惑、典型例题解析、课后习题精解而每一章都有单元测试与提高及其解答上、下册最后还分别给出了两套模拟测试题，其题型与平时学生考试题完全一致，本书可与 高等数学（第六版）配套使用，也可独立使用本书可作为高等数学课程教学、学习和应试的辅导书，也可供考研人员及相关工程技术人员参考图书在版编目（）数据高等数学典型例题解析与习题精解付夕联，范红玲，徐峰主编 西安：西北工业大学出版社，高 付范徐 高等数学解题 中国版本图书馆 数据核字（）第 号出版发行：西北工业大学出版社通信地址：西安市友谊西路 号邮编：电话：（）网址：印 刷 者：陕西丰源印务有限公司开本：印张：字数：千字版次：年月第版 年月第次印刷定价：元（￥）前言高等数学是理工科院校开设的一门重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的必考科目。高等数学 教材的版本较多，国内经典教材 同济大学数学系主编的 高等数学 具有体系完整、结构严谨、层次清晰和深入浅出的特点，成为多所院校的本科使用教材，我们根据多年的教学经验，在对教学大纲、课程内容以及近几年研究生入学考试的特点进行深入分析的基础上，依据同济大学数学系主编的 高等数学 第六版的内容和章节顺序，编写了本书。本书旨在帮助、指导广大读者更深入地理解课本中的基本概念、基本原理，熟练掌握解题的基本思想方法，提高应试能力和数学基本素质。本书共分为十二章，章节的划分与标题和同济大学数学系主编的 高等数学 第六版的内容及章节顺序完全一致，每一节包括如下几部分内容：一、释疑解惑对本节的基本概念、重要原理及公式有选择地作出更深入、更全面地阐释；揭示出概念与概念之间应有的联系与区别；针对读者在学习本节内容常常问及的一些带有共同性的、又有较大意义的问题，给予准确的解答和详尽的剖析；对一些应用较广泛的命题或公式进行了适当的推广。二、典型例题解析在教材原有例题和课后习题的基础上，精选一部分典型例题，以便开拓学生视野，巩固所学知识和内容，掌握解题的基本方法和技巧；另外根据近几年研究生入学考试的特点，针对体现基本方法和重要思想的原理、命题或公式，举出了一些有一定难度的题目，其中有许多题目都是历年来研究生考试的真题，对有些题目的解答做出了分析和总结，以供学有余力的学生阅读参考。三、课后习题解答对本节的课后习题一一作出详细解答，以供教师和学业生参考。另外每章都有单元测试与提高及其解答，单元测试与提高较全面地反映出本章的知识点，有填空题、选择题、简单的解答题、综合题、讨论题和证明题等；上、下册最后还分别出了两套模拟测试题，其题型与平时学生考试题型完全一致，对广大读者参加期中测验和期末考试有重要的参考价值。本书的编写力求突出以下几个特点：（）注重对基本概念、基本原理、基本思想方法的理解与掌握，消除因对这些基础知识理解上的欠缺而导致解题过程中的失误；强调了知识与知识、方法与方法之间的联系与区别，有助于读者在联系中去巩固、深化知识，从而在头脑中形成清晰、稳固的认知结构。（）所选取的典型例题以及一些单元测试中的题目具有开放性、可推广性、一题多解的特点，这些题目有的要应用多个知识点，具有较强的综合性，由此激活学生的思维，开阔学生的思路，使学生能对考点知识融合贯通，提高其应试能力。（）问题是数学的心脏，知识是数学的载体，方法是数学的行为，思想则是数学的灵魂。本书在注重基础知识的同时，正是通过精选的例题和单元测试题的解答过程，对使用的方法进行总结，以方法对问题进行归类，避免了传统的题海战术。本书注意博采众家之长，查阅了多部教学参考书和研究生入学考试指导丛书，汲取了丰富的养分，在此向这些书籍的编著者表示感谢。由于本书编者水平所限，疏漏与错误在所难免，敬请广大读者提出宝贵意见。编者 年月目录第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算一、释疑解惑二、典型例题解析三、课后习题解答第二节数量积向量积混合积一、释疑解惑二、典型例题解析三、课后习题解答 第三节曲面及其方程 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第四节空间曲线及其方程 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第五节平面及其方程 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第六节空间直线及其方程 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 单元测试与提高 单元测试与提高答案 第九章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第二节偏导数 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第三节全微分 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第四节多元复合函数的求导法则 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第五节隐函数的求导公式 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第六节多元函数微分学的几何应用 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第七节方向导数和梯度 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第八节多元函数的极值及其求法 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 单元测试与提高 单元测试与提高答案 第十章重积分 第一节二重积分的概念与性质 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第二节二重积分的计算法 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第三节三重积分 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第四节重积分的应用 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 单元测试与提高 单元测试与提高答案 第十一章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第二节对坐标的曲线积分 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第三节格林公式及其应用 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第四节对面积的曲面积分 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第五节对坐标的曲面积分 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第六、七节高斯公式和斯托克斯公式 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 单元测试与提高 单元测试与提高答案 第十二章无穷级数 第一节常数项级数及其性质 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第二节常数项级数的审敛法 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第三节幂级数 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第四节函数展开成幂级数 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第五节函数的幂级数展开式的应用 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第七节傅里叶级数 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 第八节一般周期函数的傅里叶级数 一、释疑解惑 二、典型例题解析 三、课后习题解答 单元测试与提高 单元测试与提高答案 模拟试题一 模拟试题一参考答案 模拟试题二 模拟试题二参考答案 目录第八章空间解析几何与向量代数欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚欚第一节向量及其线性运算一、释疑解惑 如何确定一个向量？答确定一个向量通常有两种方法：一是依据向量具有大小和方向的特性，分别求出它的大小（模）和方向（或求出方向角），即可确定；二是求出向量的三个坐标，即可写出（，）向量的分量与向量在坐标轴上的投影、投影向量有何区别和联系？答设向量的坐标表示为（，），则其坐标，就是在三条坐标轴上的投影，即 ，投影和投影向量则是两个不同的概念 上述向量在三条坐标轴上的投影向量分别为：，确定向量的坐标有哪些方法？答根据所给定的条件来确定向量的坐标，一般有以下几种常用方法：（）如果已知向量的按基本单位向量的分解式为 ，则（，）；（）如果已知向量的起点坐标（，）及终点坐标（，），则（，）；（）如果已知向量的模及方向角，则（，）；（）如果向量与（，）平行，可以设（，），其中的值要由的模来确定。设，为非零向量，则，在什么条件下，下列式子成立？（）；（）；（）答以，为边作平行四边形，则，表示该平行四边形两条对角线的长度。通过观察可知：当与之间的夹角为直角时，有；当与之间的夹角为锐角时，有；当与之间的夹角为钝角时，有二、典型例题解析例 用向量法证明：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半证设 两边，的中点分别为，（见图），那么 （）所以 ，且 图 图 图 例 在四边形 中，证明 为梯形分析要证四边形为梯形，只需找出一组对边平行且不相等证由条件可知（见图）（）（）（）所以边 与边 平行且长度是 长度的两倍，即证四边形 为梯形注由以上两例可见，用向量运算可以比较简洁地解决一些几何问题例 已知三角形三顶点为（，）（，），求的重心（即三角形三中线的公共点）的坐标解如图 所示，设的三中线为（，），其中顶点的对边上的中点为（，），三中线的公共点为（，），因此有 即重心把中线分成定比因为是的中点，则有，（）再由定比分点公式可得（）（）（）所以的重心坐标为，（）例 已知线段 被点（，）和（，）三等分，试求线段端点与的坐标分析由题意点为线段的中点，为线段 的中点，用中点坐标公式即可求解解设点（，），点（，），则有，分别解得，即线段端点坐标为（，）和（，）例 已知空间三点（，），（，），（，），求点，使，为顶点的四边形为平行四边形分析本题点的位置有多种情形，在围成四边形时可以是 ，或者 解设（，）（）若围成四边形 ，令 ，即有（，）（，）得，点坐标为（，）；（）若围成四边形 ，令 ，即有（，）（，）得，点坐标为（，）；（）若围成四边形 ，令 ，即有（，）（，）得，点坐标为（，）例 从点（，）沿向量（，）方向取长为 的线段 ，求点的坐标解设（，），则 ，其中是与同向的单位向量，且因为（）槡，所以（，）（，）（，）容易解得点坐标为，即（，）例 已知 （，），（，），求 角平分线上的单位向量分析分别在 ，上取与它们同向的单位向量 与 ，则它们的和向量 在 角平分线上解 ，（），（）记 ，（）则所求 角平分线上的单位向量为 槡（，）槡，槡，槡（）例 已知向量的模为，且与轴和轴的正向成等角，与轴正向的夹角是它们的两倍，求向量解设向量的方向角为，则，且 即 解得或于是槡，槡，（）或（，），又因为，故所求向量为（槡，槡，）或（，）第八章空间解析几何与向量代数三、课后习题解答习题解答设，试用，表示解（）（）如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形证明如图 所示，设四边形 中 交 于点，且 ，因为 ，所以 （同理，）故四边形 是平行四边形图 图 把 的 边五等分，设分点依次为，再把各分点与点连接 试以 ，表示向量，和解如图 所示，已知两点（，）和（，）试用坐标表示式表示向量及 解（，）（，）（，）（，）求平行于向量（，）的单位向量解（）槡，平行于向量的单位向量为 （，），（）或者 （，），（）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？（，）；（，）；（，）；（，）解点在第卦限，点在第卦限，点在第卦限，点在第卦限在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：（，）；（，）；（，）；（，）解设点的坐标为（，），若点在 面上，则；若点在 面上，则；若点在 面上，则若点在轴上，则；若点在轴上，则；若点在轴上，则点在 面上，点在 面上，点在轴上，点在轴上求点（，）关于（）各坐标面；（）各坐标轴；（）坐标原点的对称点的坐标解（）关于 ，面的对称点的坐标分别为（，），（，），（，）；（）关于，轴的对称点的坐标分别为（，），（，），（，）；（）关于坐标原点的对称点的坐标为（，）图 自点