涉及单形内点几个不等式的稳定性_孙玉婷.pdf

第43卷第6期Vol.43 No.62022年12月Dec.2022韩 山 师 范 学 院 学 报Journal of Hanshan Normal University收稿日期：2021-09-28基金项目：安徽省自然科学基金项目（项目编号：1908085QA04）；安徽文达信息工程学院校级一般科研项目（项目编号：XZR2019B02）作者简介：孙玉婷（1989-），女，安徽合肥人，安徽文达信息工程学院通识教育学院讲师涉及单形内点几个不等式的稳定性孙玉婷1，王文2，杨世国3（1.安徽文达信息工程学院 通识教育学院，安徽 合肥231201；2.合肥师范学院，安徽 合肥230601;3.安徽新华学院，安徽 合肥230088）摘要：利用单形的“偏正度量”和几何不等式理论，研究欧氏空间En中n维单形几何不等式的稳定性，证明了三个涉及单形内点的不等式是稳定的，同时给出相应的稳定性版本从而为一般凸体的稳定性研究奠定基础关键词：偏正度量；稳定性；单形；内点中图分类号：G 623文献标识码：A文章编号：1007-6883（2022）06-0009-08DOI：10.19986/ki.1007-6883.2022.06.0021引言设Ai(i=0,1,n)为欧氏空间En中n维单形的顶点，V为其体积，并设r,R分别为其内切球与外接球半径，约定Fi为侧面fi=A0Ai-1Ai+1An()i=0,1,n的面积，棱长aij=|AiAj(0 i j n)对下标按字典排列为ai()i=1,2,n,1，记n,k=Ck+1n+1单形的任一个k维子单形Ai0Ai1Aik的k维体积为Vi0i1ik(0 i0 i1 ik n)，记为Vi()k(i=1,2,n,k)，设点D是单形内部任一点，D到单形的侧面fi的距离为di()i=0,1,nM.S.Klamkin1建立了欧氏空间n维单形的Euler不等式：R nr，（1.1）当为正则单形时等号成立文献2-4中推广了不等式（1.1），得到如下一些不等式G.S.Leng，L.H.Tang2获得了不等式i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)，（1.2）G.S.Leng，T.Y.Ma3获得了另一不等式0 i j n1(didj)m-(n,1)1-m1r2m()n,11-m()n,1m-1 n2m1R2m，（1.3）L.Gerber4建立了不等式R n(i=0ndi)1n+1，（1.4）9其中m是任意正整数，当为正则单形且D为其中心时，（1.2）-（1.4）等号成立在不等式（1.2）-（1.4）中取点D为单形的内心I，此时di=r()i=0,1,n，便得到不等式（1.1）的实质性推广不等式（1.2）-（1.4）又可写成以下形式|i=0n1di2(n-1)-2r2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2，（1.2）|0 i 0，当|i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2-|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2，时，则有(),n，或不等式（1.2）的一个稳定性版本|i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2+n(),，（2.1）10当为正则单形且D为中心时等号成立其中n=(n-1)n2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2n(n+1)(n2+n-4)r2R2(n+1)(n-1)3n-2，（2.2）定理2.2设k(),是单形的“k-偏正度量”()2 k n-1，则对任意的 0,当|i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2-|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2，时，则有k(),n，或不等式（1.2）的一个稳定性版本|i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2+nk(),，（2.）当为正则单形且D为中心时等号成立其中n=nk(k!)2(n-1)n2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2(n+1)k(k+1)(n,k-)n2kr2kR2k(n+1)(n-1)3n-2，（2.4）下给出（1.3）的两个稳定性版本定理2.3设(),是单形的“偏正度量”，m是任意正整数，则对任意的 0,当|0 i j n1(didj)m-(n,1)1-m1r2mnm-(n,1)1-m(n,1)m-1 n2m1R2mnm，时，则有(),n，或不等式（1.3）的一个稳定性版本|0 i 0,当|0 i j n1(didj)m-(n,1)1-m1r2mnkm-(n,1)1-m(n,1)m-1 n2m1R2mnkm，时，则有k(),n，或不等式()1.3的一个稳定性版本|0 i 0，当 11R2n(n2-1)-n2n(n2-1)()i=0ndi2n(n-1)，时，则有(),n，或不等式()1.4的一个稳定性版本R2n(n2-1)n2n(n2-1)()i=0ndi2n(n-1)+n(),，（2.9）当为正则单形且D为中心时等号成立其中n=n2n3-2n-1d2n(n2-1)()n+1()n2+n-4 r2,d=min0 i n di，（2.10）定理2.6设k(),是单形的“k-偏正度量”，则对任意的 0，当R2n(n2-1)k-n2n(n2-1)k()i=0ndi2n(n-1)k 时，则有k(),n，或不等式()1.4的一个稳定性版本R2n(n2-1)k n2n(n2-1)k()i=0ndi2n(n-1)k+nk(),，（2.11）当是正则单形且D为中心时等号成立其中n=n(2n3-2n-1)k(k!)2(n+1)k(k+1)(n,k-)d2n(n2-1)kr2k，（2.12）3引理与定理的证明先介绍以下引理，从而辅助定理的证明引理3.17设n维单形，有i=1n,1ai2 n(n+1)n-1n(n!V)2n+2n2+n-41 i j n,1(ai-aj)2，（3.1）当是正则单形时等号成立引理3.28-9设n维单形，有V(n+1)n+12n!nn-22Rn-1r，（3.2）V nn2(n+1)n+12n!rn，（3.3）等号成立当且仅当为正则单形引理3.310设n维单形，自然数k 2,n，有()i=1n,1a2ik()n+1k-1(n-k)!()k!3nkn!i=1n,kV2i()k，（3.4）等号成立当且仅当为正则单形引理3.411设n维单形，n+1-k,，有i=1n,kV2i(k)n,k|()k+1k!1k()n!n+11n2kV2kn+1n,k-1 i j n,k(Vi(k)-Vj(k)2，（3.5）12引理3.511设n维单形，有i=0nFi()Rnr1n(n-1)n3(n+1)2(n!)n+1n(n+1)n2-12nVn2-1n，（3.6）等号成立当且仅当为正则单形证明利用文献12中不等式()i=0n,1ai2n2n+12n!n12VR=2n+12n!Rn12V1nVn+1n，（3.7）等号成立当且仅当为正则单形将不等式（3.2）代入式3.7右端分母，得()i=0n,1ai(Rnr)12(2n(n!)2n+1)n+14Vn+12，（3.8）等号成立当且仅当为正则单形利用文献13中不等式i=0nFi|n3(n-1)2(n+1)n-2(n!)2n+12(n-1)V(n+1)(n-2)n-1(i=1n,1ai)2n(n-1)，（3.9）等号成立当且仅当为正则单形由式3.9和式3.8即可得式3.6.定理2.1和定理2.2的证明利用文献2中的不等式（20）式即式（3.10），有|i=0n(F-2Fi)1n+1n-1F|n3n(n!)21n-1V2(i=0nFi)2n2-1，（3.10）等号成立当且仅当为正则单形，其中F=i=0nFi因点D在单形的内部，由体积公式i=0ndiFi=nV=rF，对上式应用算术几何平均不等式i=0ndiFi()nVn+1n+1，（3.11）等号成立当且仅当为正则单形且D为中心利用 式3.10、式3.11、式3.6及算术几何平均不等式，得i=0nF-2Fid2n-2i(n+1)|i=0nF-2Fii=0ndi2n-21n+1 n4-5n(n-1)(n+1)2n-1|nn(3n-2)(n-1)!21n-11F|i=0nFnn2-1iV2n-4()Rnr2(n-2)(n+1)(n-1)2(n-1)nn(n+1)n+1(n-1)!21F（3.12）利用文献2中式（16）即（3.13）式，有i=0n2Fid2n-2i 2F r2-2n，（3.13）等号成立当且仅当为正则单形由式3.12和式3.13得 13i=0n1d2n-2i-2r2n-2()Rnr2(n-2)(n+1)(n-1)2(n-1)nn(n+1)n+1(n-1)!21F2，（3.14）利用文献9中不等式i=0n,1a2i()n+12R2，（3.15）等号成立当且仅当为正则单形利用幂平均不等式，引理3.3及式3.15，得F2=()i=0nFi2()n+1i=0nF2i(n+1)(i=1n,1a2i)n-1(n!)2nn-4(n+1)n-2(n+1)n+1(n!)2nn-4R2(n-1)，（3.16）由式3.14、式3.16得i=0n1d2n-2i-2r2n-2()Rnr2(n-2)(n+1)(n-1)2(n-1)n2(n-1)R2(n-1)（3.17）由式3.15、式3.1和式3.3得R21(n+1)2i=1n,1a2in(n+1)n+1n(n!V)2n+2(n2+n-4)(n+1)21 i j n,1(ai-aj)2 n2r2+2(n2+n-4)(n+1)21 i j n,1(ai-aj)2（3.18）利用代数恒等式1 i j m(xi-xj)2=mi=1m(xi-x )2，（3.19）其中x =1mi=1mxi由式3.18和式3.19得R2(nr)2+n(n+1)(n2+n-4)(),，（3.20）由式3.17和式3.20得|i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2(Rnr)2|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)(n+1)(n-1)2n-2+n(),不难得出当为正则单形且D为其中心时等号成立，故定理2.1成立由 式3.15、式3.4、式3.5及式3.3得R2k1(n+1)2k()i=1n,1a2ik(n-k)!(k!)3nkn!(n+1)k+1i=1n,kV2i(k)(n-k)!(k!)3nkn!(n+1)k+1|n,k|()k+1k!1k()n!n+11n2kV2kn+1n,k-1 i j n,k(Vi(k)-Vj(k)2()nr2k+nk(k!)2(n+1)k(k+1)1n,k-k(),（3.21）由式3.17和式3.21得 14|i=0n1d2(n-1)i-2r2(n-1)(n+1)(n-1)2kn-2(Rnr)2k|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2|(n-1)n2(n-1)1R2(n-1)k(n+1)(n-1)2n-2+nk(),易知当为正则单形且D为其中心时等号成立，故定理2.2成立定理2.3和定理2.4的证明：利用文献3中式3.8即（3.22）式，有0 i j n1(didj)m(n,1)1-m|1r2m+(n+1)mnm()n+1n!2mn(n,1)m-1V2mn，（3.22）即|0 i j n1(didj)m-(n,1)1-m1r2mnm(n,1)(1-m)nm(n+1)nnn()n+1n!2(n,1)m-1nm1V2，（3.23）当为正则单形且D为其中心时等号成立由式3.21V2(n!)2nn(n+1)n+1R2n()Rnr2，（3.24）由式3.23和式3.24得|