高等数学_龚世明谢和熙主编.pdf

书书书高等学校专科教材高 等 数 学主编龚世明谢和熙电子科技大学出版社图书在版编目（CIP）数据 高等数学/龚世明，谢和熙主编成都：电子科技大学出版社，2005.9 ISBN 7810949314 .高 .龚 谢 .高等数学高等学校教材 .013 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2005）第 098980 号 内容提要 本书是根据国家教委有关专科教育的教学大纲和教学要求，结合编者的教学实践而写成的，全书共十一章，内容有函数与极限、导数与微积分及其应用、不定积分与定积分及其应用、空间解析几何、多元函数微积分学、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程等，并附有习题及答案.本书概念清楚，深入浅出，通俗易懂，宜于自学，可作为工科院校专科教学教材.高 等 数 学 主编 龚世明 谢和熙 出 版：电子科技大学出版社（成都市建设北路二段四号）责任编辑：杜 倩 发 行：电子科技大学出版社 印 刷：成都金龙印务有限责任公司 开 本：787mm1092mm 1/16 印张 18.75 字数 4 20 千字 版 次：2005 年 9 月第一版 印 次：2005 年 9 月第一次印刷 书 号：ISBN 7-81094-931-4/O56 定 价：22.50 元 版权所有 侵权必究 邮购本书请与本社发行科联系。电话：(028)83201495 邮编：610054。本书如有缺页、破损、装订错误，请寄回印刷厂调换。前言本书是为高等学校编写的专科教材编者参照全国高校工科数学课程数学指导委员会制定的 高等工业专科学校高等数学课程教学基本要求，并考虑到教学改革的需要，结合大专学生的实际情况，编写了这本教材本书着重讲述基本概念、基本方法和应用，不过分追求理论的完整性和严密性，也不过分追求运算的技巧性，以必需、够用为度，删去了以往大专教材中次要的和比较繁杂的部分内容，力求使本教材简明扼要、通俗易懂全书（不包括内容）教学时数约为 学时本书可作为高等工科院校大专班的高等数学教材，亦可用作函授教材为了便于自学，另编有与本教材配套的学习指导书由于作者水平所限，教材中错误和不妥之处在所难免，敬请读者批评指正编者 年月书书书目录第一章函数、极限、连续第一节函数一、区间二、函数的定义三、反函数四、复合函数习题 第二节函数的简单性质一、函数的基本性质二、基本初等函数三、初等函数习题 第三节数列的极限习题 第四节函数的极限一、函数的极限概念二、函数的极限性质三、无穷小量与无穷大量习题 第五节极限的运算一、无穷小的运算二、极限的四则运算习题 第六节两个重要极限等价无穷小替换定理一、两个重要极限二、等价无穷小替换定理习题 第七节函数的连续性一、函数连续概念二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质习题 第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义二、求导举例三、导数的实际意义四、函数的可导性与连续性的关系习题 第二节初等函数的导数一、函数的和、差、积、商的导数二、反函数的导数三、复合函数的导数四、求导法则与求导公式小结习题 第三节隐函数及参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数习题 第四节高阶导数习题 第五节微分一、微分概念二、微分的几何意义三、微分的求法四、微分在近似计算中的应用习题 第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理习题 第二节罗必达法则一、型二、型习题 第三节函数的单调性与极值一、函数的单调性及其判别法二、函数的极值及其求法习题 第四节曲线的性态与曲率一、曲线的凹凸与拐点二、曲率习题 第五节函数的最大值与最小值习题 第四章不定积分第一节不定积分概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质三、基本积分公式习题 第二节换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）二、第二换元积分法习题 第三节分部积分法习题 第四节有理函数积分举例习题 第五章定积分及其应用第一节定积分的概念与性质一、两个实例二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质习题 第二节定积分基本公式一、积分上限的函数及其导数二、定积分基本公式习题 第三节定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法习题 第四节定积分的应用一、定积分的元素法二、几何上的应用 平面图形的面积立体的体积 平面曲线的弧长习题（）三、物理上的应用 变力沿直线所做的功 水的压力四、经济问题中的应用举例习题（）第五节广义积分一、无穷区间上的广义积分二、被积函数为无界函数的广义积分习题 第六章向量代数和空间解析几何第一节空间直角坐标系一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离习题 第二节向量的概念及其坐标一、向量的概念二、向量的加减法、数量与向量的乘积三、向量的坐标表示法四、向量的模和方向的坐标表示式习题 第三节数量积和向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积习题 第四节空间平面一、平面的方程二、两平面的夹角习题 第五节空间直线一、空间直线的方程二、两直线的夹角三、平面与直线的夹角习题 第六节曲面及其方程一、旋转曲面二、柱面三、二次曲面简介习题 第七节空间曲线及其投影一、空间曲线的方程二、空间曲线在坐标面上的投影习题 第七章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念一、多元函数概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性习题 第二节偏导数一、偏导数的定义及求法二、偏导数的几何意义三、高阶编导数习题 第三节全微分及其应用一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用习题 第四节复合函数的求导法则一、二元复合函数的偏导数二、一个自变量的情形三、只有一个中间变量的情形习题 第五节隐函数的求导公式一、一元隐函数的求导公式二、二元隐函数的求导公式习题 第六节多元函数微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面二、曲面的切平面和法线习题 第七节多元函数的最大值和最小值一、二元函数的极值二、最大值和最小值三、条件极值和拉格朗日乘数法习题 第八章重积分及其应用第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质第二节二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分习题 第三节二重积分的应用一、空间立体的体积二、平面薄片的质量三、平面薄片的重心四、平面薄片的转动惯量习题 第四节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算法习题 第九章曲线积分与曲面积分第一节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算法习题 第二节格林公式及其应用一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积习题 第三节对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的计算法习题 第十章无穷级数第一节级数的概念和性质一、级数的一般概念二、级数的基本性质三、级数收敛的必要条件习题 第二节数项级数敛散性判别法一、正项级数敛散性判别法二、交错级数敛散性判别法三、绝对收敛与条件收敛习题 第三节幂级数一、幂级数的有关概念二、幂级数的收敛区间三、幂级数的性质习题 第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数的方法三、应用举例习题 第五节傅立叶级数一、三角级数三角函数系的正交性二、函数展开成傅立叶级数三、正弦级数和余弦级数四、以 为周期的函数的傅立叶级数习题 第十一章微分方程第一节微分方程的基本概念习题 第二节可分离变量的微分方程习题 第三节齐次微分方程习题 第四节一阶线性微分方程习题 第五节可降阶的高阶微分方程一、（）（）型的微分方程二、（，）型的微分方程三、（，）型的微分方程习题 第六节二阶线性微分方程的解的结构习题 第七节二阶常系数齐次线性微分方程习题 第八节二阶常系数非齐次线性微分方程一、（）的情形二、（）的情形三、（）的情形习题 第九节常系数线性微分方程组求解举例习题 附录附录一积分表附录二习题答案第一章函数、极限、连续函数是高等数学研究的主要对象，本章在复习函数概念的基础上，进一步学习函数的极限、连续等概念及其有关的性质和运算方法 第一节函数一、区间区间是研究函数时用得较多的一种实数集合 设、都是实数，称满足不等式的数的集合叫开区间，记为（，），即（，）；称满足不等式的数的集合叫闭区间，记为，即，类似地有半开区间，即，）（，以上四种区间统称为有限区间，下列几种区间统称为无限区间，均是常用的区间，即（，），）（，）（，（，）、不表示任何确定的数，仅表示数的负无限大与正无限大的记号，分别读作负无穷大与正无穷大有限区间、无限区间统称为区间各区间中的、叫区间的端点，其中叫左端点，叫右端点，叫区间的长变 各种区间的几何表示如图所示 以后还会遇到以为中心，为半径的邻域，它就是开区间（，），记作（，）即（，）其中，是常数，称为邻域的中心；，称为邻域的半径 此外，去心邻域有时也会遇到，就是去掉这一点的（，），记为（，）即（，）以上两种邻域在不需要指明邻域的半径时，邻域的记号可简记为（）和（），它们的几何表示如图所示 二、函数的定义在观察某个自然现象或研究某个问题的过程中，始终保持同一数值的量称为常量，可以取图图不同数值的量称为变量 例如，对封闭容器中的气体加热，在加热过程中气体体积是一个常量，而温度与压强都是变量 一个量是常量还是变量，有时要作具体分析 例如，重力加速度，从局部地区来看，它是常量，但从整个地球表面或从太空角度来观察，就不是常量而是变量 习惯上常用、等来表示常量，用、等来表示变量 在研究某一个具体问题的过程中，变量之间往往是相互联系、相互依赖的 例如，在真空中，自由落体下落的路程与时间之间有如下依赖关系：其中，是重力加速度，可视为常量，变量的变化范围是从开始时刻到物体静止时刻，即区间，对于，上任一时刻，路程按上述关系必有确定的数值 与之对应 函数关系就是这种变量间的确定的依赖关系 定义设有两个变量和，如果对于在其取值范围内的每一个数值，变量按照确定的法则，总有确定的数值与它对应，则称是的函数 记为（）其中，叫自变量，叫因变量 的取值范围叫定义域，如果定义域是区间就称为定义区间，对于定义域中的每一个值，因变量的对应值的全体叫函数值域 符号“”表示函数与自变量之间的依赖关系，即对应法则的记号 记号也可以采用其它的字母，特别是在研究同一问题中几个不同的函数时应该用不同的字母来表示 例如，（）、（）、（）等，有时也可用（）来表示 由此可知，定义域、对应法则是决定函数关系的两要素 定义域决定自变量的取值范围，对应法则决定函数值 所以，两个函数只要定义域与对应法则完全相同，则它们不仅是同一个函数，同时也可用不同的字母表示 比如与，又如 与 ，其定义域都是的一切实数，其对应法则实际上是相同的，因此它们是同一个函数 函数的定义域一般由函数关系式来确定 如果关系式是解析式，并且没有赋与任何具体意义时，其定义域就是使解析式运算有意义的自变量取值的全体，这样的定义域叫自然定义域；如果解析式是由实际问题建立的关系式，那么定义域就应是使实际问题有意义的自变量取值的全体，这样的定义域叫实际定义域 例如，圆面积公式，其定义域为（，）例求函数槡（）的定义域 解要使有意义，必须，即，所以槡的定义域为，例求函数（）的定义域 解因为分母不能为，所以即，同时负数、零没有对数，所以，即 为此由解得烅烄烆所以，定义域：（，）（，）图例将一块边长为的正方形铁皮的四角均剪去边长为的小正方形做成一个无盖的铁盒（如图所示），其容积与的关系为（）它的定义域是（，）例公路运输中规定：货物的吨公里运价，不超过 公里，每公里运价元，超过 公里，超过部分每公里减少元，则总运价与路程的关系为（）（）烅烄烆 注意：它不是两个函数，而是定义在（，）内的一个函数，即不同取值范围内，其对应算法各异的一个函数，这种函数通常称为分段函数 此外，对于自变量在定度域内的每一个值，如果对应的函数值是唯一的，则称这样的函数叫单值函数；反之，称为多值函数 多值函数常常分成若干个单函数来讨论 例如，可以分成槡与槡两个单支来讨论 必须注意：今后如果不加说明，所讨论的函数都是指单值函数 三、反函数设与分别是函数（）的定义域与函数值域，如果对中的任一值，按照关系式（）都有确定的值与之对应，即视