高等数学实训教程上_胡雅彬吴少祥主编.pdf

高等数学实训教程(上册)胡雅彬 吴少祥 主编 西北大学出版社 图书在版编目(CIP)数据 高等数学实训教程/胡雅彬,吴少祥主编.西安:西北大学出版社,2009.9 ISBN978-7-5604-2641-9 .高 .胡吴 .高等数学-高等学校:技术学校-教材.O13 中国版本图书馆CIP 数据核字(2009)第144858 号高等数学实训教程出版发行 西北大学出版社 社 址 西安市太白北路229 号电 话 029-88303313经 销 新华书店经销印 刷 陕西奇彩印务有限责任公司印刷开 本 787 1092 1/16版 次 2009 年9 月第1 版印 次 2009 年9 月第1 次印刷字 数 243 千字印 张 10书 号 ISBN978-7-5604-2641-9定 价 20.00 元前 言1 前 言 本书是根据教育部最新制定的 高等职业教育高等数学课程教学基本要求 编写的实训教材.该书既可作为教师教学参考用书,也可作为学生学习 高等数学 课程的训练提高用书.本书内容包括:函数极限与连续、导数与微分及应用、不定积分、定积分及应用、多元函数微分学、常微分方程、无穷级数、拉普拉斯变换以及线性代数等九章内容.本书结合理工类专业的实际情况,着重对高等数学的基本概念、基本理论与基本方法进行剖析,对学生的训练题目作了严格地筛选,重点突出、特点鲜明.本书的结构和特点为:1.以“应用为目的,必须够用为度”兼顾学生后续学习为原则,不拘泥于数学学科自身的严密性、逻辑性.2.每章按“知识要点、例题选讲、实训题目”形式进行编写,结构清晰.3.实训题型全面、难度适中、不强调过分复杂的运算技巧及论证,注重高等数学基本知识内容的掌握.参加本书编写的有:西安电力高等专科学校数学教研室胡雅彬(上册知识要点、例题选讲),吴少祥(下册知识要点、例题选讲),余庆红(第一章实训题目(作业)及答案),姚振宇(第二章实训题目(作业)及答案),寇磊(第三章实训题目(作业)及答案),吴文海(第四章实训题目(作业)及答案),赵启峰(第五章实训题目(作业)及答案),马小燕(第六章实训题目(作业)及答案),廖虎(第七章实训题目(作业)及答案),任晓全(第八章实训题目(作业)及答案),段东东(第九章实训题目(作业)及答案),本书由段东东制定编写大纲,由胡雅彬、吴少祥负责全书统稿.本书由吴文海主审,并提出了许多宝贵的意见和建议,在此表示衷心的感谢.另外,本书在编写过程中也得到了西安电力高等专科学校有关部门领导及西北大学出版社的大力支持,在此一并致以诚挚的感谢.由于作者水平有限,本书中难免有不妥之处,恳请读者多给予批评指正.编 者2009 年6 月目 录1 目 录第一章 函数、极限与连续(1)第二章 导数及其应用(7)第三章 不定积分(15)第四章 定积分及其应用(20)第五章 多元函数微分学(27)参考文献(32)第一章函数、极限与连续知识要点一、函数的概念函数、反函数、基本初等函数、初等函数、复合函数的定义理解函数记号（）中“”的意义函数的两个要素，对于两个或两个以上的函数，只有定义域和对应法则完全相同时才是同一函数弄清基本初等函数的概念，熟悉这些函数的特性求（）的定义域对于较复杂的函数求定义域问题，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集函数的重要性质：有界性，奇偶性，周期性，单调性复合函数的复合过程，弄清自变量、中间变量和因变量清楚（），（）复合成为的函数满足的条件二、极限极限的概念极限的计算方法：（）利用极限四则运算法则求极限，要注意该法则是极限都存在的条件下才能使用，当出现“”“”或“”等情况，必须对原式进行恒等变换，化简然后再求极限（）利用两个重要极限求极限：（）或 （）（）利用无穷小的性质求极限（）利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小量有：当时，（），（）（）利用函数的连续性求极限（函数在点连续，则极限值等于函数值）（）利用极限存在的充分必要条件求极限一般地，求分段函数在分界点处的极限时，要考虑左、右极限三、函数的连续函数的连续性：理解连续函数的定义如果 （）（），则（）在点处连续间断点及分类：高 等 数 学 实 训 教 程如果函数（）在点处不连续，则称（）在点处间断，点称为（）的间断点函数（）在间断点的左右极限都存在的间断点为第一类间断点，而（）在间断点左存极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点四、闭区间上连续函数的性质函数（）在，上连续，则一定有最大值和最小值知道闭区间上连续函数的介值定理与零点定理会用零点定理判断及证明函数方程在指定区间中根的存在性例题选讲例求函数（）槡 槡的定义域解要使函数有意义，应满足 函数的定义域为，）例设（）的定义域是，则（）的定义域是（），解要使（）有意义，选例函数（）的图像对称于直线（）解该题实际上是判定（）的奇偶性（）（）（）为偶函数由偶函数的特性知图像关于轴对称故选说明：判断函数奇偶性的方法主要是根据定义及奇偶函数的运算性质特别注意定义域的对称性例设（），求（）分析：可用变量代换法或根据所给表达式直接“拼凑”解方法一：变量代换法令，则，代入原式有（）（）（）再将换成得（）方法二：直接拼凑法（）（）（）第一章函数、极限与连续于是（）例求下列各数列的极限（）槡槡（）；（）（）分析：（）极限呈“”型未定式极限，需先分子有理化后，再求极限（）先找到数列前项和的解析式，再求极限解（）槡槡（）（槡 槡）（槡 槡）槡 槡 槡 槡（）（）（）（）（）（）例求极限 （）解 （）（）（）（）（）说明：在求极限时，经常会碰到极限四则运算不能直接应用，此时需先进行适当的恒等变换化为“”“”型，再通过分子有理化或约去使分母的极限为零的非零因子，从而求得极限例求极限 （）分析：由于函数（）（）在处连续，所以可利用函数的连续性求极限解由于（）在处连续则 （）（）说明：如果函数（）在点连续，可根据 （）（）求极限例求极限 分析：本题是“”型极限，可先通过分解因式约去致零因子，再求极限解原式 （）（）（）（）例求极限 槡槡高 等 数 学 实 训 教 程分析：先需要分子、分母有理化，然后再求极限解原式 （槡）（槡）（槡）（槡）（槡）（槡）（）（槡）（）（槡）（槡）槡例求下列极限（）；（）分析：本题是“”型，可利用重要极限 或等价无穷小代换求极限解（）方法一：原式 方法二：当时，（），原式 （）方法一：，原式 （）方法二：（）说明：例、题都是“”型极限，从而求极限常用方法如下：（）当函数是有理式时，可通过分解因式消去使分母为零的因式，再求极限；当函数是无理式时，可通过分子、分母有理化消去使分母为零的因式，再求极限（）当函数中含有三角函数时，往往通过三角恒等变形，再利用 求极限，或利用等价无穷小代换法求极限此方法只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代第一章函数、极限与连续换，否则会导致错误结论例 当时，（）与 是（）同阶无穷小等价无穷小高阶无穷小低阶无穷小解该题是两个无穷小量的比较，实际是求两个函数比值的极限 （）（），）选例 求下列函数的极限（）（）；（）（）（）（）解（）（）（）（）（）（）说明：本题（）、（）属于第二重要极限，利用公式求解例 设（）在处连续，且 （）则（）（）可能不存在（）（）（）解利用函数连续的定义，则（）故选例 设（）（）（），则是间断点，是间断点解 （）（）（）（）（）是第一类（可去）间断点，又因为 （）（）是第二类（无穷）间断点例 求极限 （）解当 时，为无穷小量，而 为有界函数 （）说明：在求极限过程中，要会利用“无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量”进行计算例 设（），若（）在处连续，则的值是多少？解由连续定义（），即 ，由左极限右极限知：高 等 数 学 实 训 教 程例 设（）槡 （）烅烄烆，问，为何值时，（）在（，）内连续分析：因为初等函数在其定义域内是连续的，因而要使（）在（，）内连续，只需讨论处的情形即可解时，（）又 槡 槡槡 （）（）槡槡，故当槡，时，（）在（，）内连续例 证明：方程至少有一个小于的正根分析：先设（）由介值定理的推论（零点定理）加以证明证明设（）因为（）在（，）内连续，所以（）在，内也连续又因为（），（），所以至少存在一点（，），使（）故为方程的小于的正根第二章导数及其应用知识要点一、导数的概念函数在点处的导数定义式为（）（）（）或（）（）（）阶导数：阶导数的导数为阶导数左、右导数：（）（）（）称为（）在左导数（）（）（）称为（）在右导数函数（）在点可导（）在点处左右导数存在且相等几何意义：函数（）在点处的导数（）的几何定义就是曲线（）在点（，（）处的切线斜率即（），则曲线（）在（，（）处切线方程为：（）（）法线方程为：（）（）（当（）可导与连续的关系：如果（）在点处可导，则（）在处连续，反之不一定二、导数的运算求导公式与求导法则：（）常用求导公式：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）槡（）槡（）高 等 数 学 实 训 教 程（）（）四则运算法则：设（），（）均在点处可导，则 ；，；（）复合函数的导数：设函数（）和（）分别是和的可导函数，则复合函数（）的导数为（）（）隐函数的导数：由方程（，）所确定的隐函数求导法，就是将方程两边同时对求导，将含有的项作为复合函数，先对求导再乘以对的导数，再求出即可由参数方程所确定函数的导数：若参数方程（）（）（其中为参数）确定和之间的函数关系，则（）（）参数方程二阶导数 （）（）（）（）（）对数求导法三、微分的概念微分的概念：如果函数（）在点具有导数（），则（）叫做函数（）在点的微分，记为（）可微与可导的关系：函数（）在点可微的充分必要条件是（）在点处可导，且（）微分的几何意义：函数（）的微分（）在几何中表示曲线（）在点处切线纵坐标的改变量微分运算法则：第二章导数及其应用四则运算法则（）（）（）复合函数的微分（一阶微分形式不变性）若（），（）都可导，则（）的微分为（）不论是自变量还是中间变量，微分的形式不变四、导数的应用罗必达法则（求不定式的极限）：对于“”或“”型求极限问题，凡符合法则条件都可用罗必达法则计算极限，对其它类型如“”“”“”“”“”等可化成“”和“”再用法则计算利用导数判定（）的单调性：步骤：（）确定函数（）的定义区间；（）求（）和（）不存在的点，用这些点将定义区间分成若干个区间；（）列表判定（）在每个区间上的单调性极值：（）函数的极值是局部性的概念，函数的极大值不一定比极小值大，函数的极值只能在区间内部取得（）函数极值的判定和求法：取得极值的必要条件（），必是函数的驻点，但驻点不一定是极值点；极值的求法步骤同单调性判别，列表由取得极值的第一充分条件议论驻点及导数不存在点左右两侧导数的符号，或由第二充分条件求极值函数的最大值和最小值：（）函数（）在，上最大（小）值求法：步骤：求（）或（）不存在的点；求出函数（）在各驻点、导数不存在的点及区间端点处的函数值，比较大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值（）实际问题的最大值和最小值例题选讲例设（）在不连续，则（）（）必存在（）不存在 高 等 数 学 实 训 教 程 （）必存在 （）必不存在解因为（）在不连续，、选项不对，是可导必连续，所以不对，正确选项为例已知（）在处可导且（），则 （）（）解 （）（）（）（）（）（）（）例设函数（）在点处可导，且 （）（），则（）解 （）（）（）（）（）（）（）（）说明：例、例都是利用导数定义求极限，必须先凑成导数定义形式再求极限例当、为何值时，（）在处可导分析：由于（）在处可导，所以（）在必连续，然后求出、值解由（）在可导，知（）在处连续，则 （）（）而 （）（）（），又 （）（）（）（）成立而 （）（）（）（）例曲线 上处的切线是水平的解设切点为（，），则 令，得第二章导数及其应用 则所以填（，）处切线是水平的例求隐函数的导数 及 解两边同时对求导 将代入原方程得 例求下列函数的导数（）；（）槡（）槡解（）两边取对数 （）（）两边取对数 （）（）槡（）槡（）槡 （）槡（）说明：当函数是幂指函数或积、幂、商组成时，通常应用对