2023学年重庆市七校联考高三下学期第六次检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ） A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1 2．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（　　） A．[，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞） C．[，+∞） D．（3，+∞） 4．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ） A．3 B． C． D． 5．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 7．函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 8．若满足约束条件则的最大值为（ ） A．10 B．8 C．5 D．3 9．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( ) A．132 B．299 C．68 D．99 10．已知命题，那么为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 12．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（ ） A．100 B．210 C．380 D．400 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________. 14．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____ 15．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____． 16．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°． （1）求BC的长度； （2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？ 18．（12分）已知矩阵的逆矩阵.若曲线：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线，求曲线的方程. 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值. 20．（12分）已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上． 求椭圆C的方程； 若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角． 21．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元. （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 22．（10分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”. （1）若，求的前项和； （2）证明：的“极差数列”仍是； （3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值. 【题目详解】 由于，所以，即，，即，解得或. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 2、A 【答案解析】 根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可. 【题目详解】 因为, 所以 ， 所以， 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 3、A 【答案解析】 根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【题目详解】 因为函数， 解得且； 函数的定义域为, 故选A． 【答案点睛】 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 4、C 【答案解析】 根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【题目详解】 显然直线过抛物线的焦点 如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E 根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC 设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME= 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 5、A 【答案解析】 由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解 【题目详解】 如图，其中，所以 . 故选：A 【答案点睛】 本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题 6、A 【答案解析】 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 7、A 【答案解析】 确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项． 【题目详解】 时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 8、D 【答案解析】 画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【题目详解】 解:由约束条件作出可行域如图, 化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知 当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 9、B 【答案解析】 由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求. 【题目详解】 对任意的，均有为定值， ， 故， 是以3为周期的数列， 故， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查周期数列求和，属于中档题. 10、B 【答案解析】 利用特称命题的否定分析解答得解. 【题目详解】 已知命题，，那么是. 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 11、D 【答案解析】 根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果. 【题目详解】 关于直线对称的直线方程为： 原题等价于与有且仅有四个不同的交点 由可知，直线恒过点 当时， 在上单调递减；在上单调递增 由此可得图象如下图所示： 其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为 由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点 设，，则，解得： 设，，则，解得： ，则 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 12、B 【答案解析】 设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解. 【题目详解】 设公差为，，， , . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式． 【题目详解】 解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能， 故概率为， 故答案为． 【答案点睛】 本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题 14、 【答案解析】 先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解. 【题目详解】 因为，所以，令得， 因为函数有大于0的极值点，所以，即. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想. 15、 【答案解析】 根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【题目详解】 解：函数,且 画出的图象如下： 因为,且存在唯一的整数使得, 故与在时无交点, ,得； 又,过定点 又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以 , 存在唯一的整数使得 所以 .根据图像可知,当时, 恒成立. 综上所述, 存在唯一的整数使得,此时 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题. 16、 【答案解析】 只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决. 【题目详解】 由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为， 直三棱柱的棱长为x，则，，故， 即，解得，故三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值． 【答案解析】 （1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，