复变函数与积分变换第2版_林益赵一男刘国钧叶提芳主编.pdf

书书书新编高等院校公共基础课系列规划教材复变函数与积分变换（第版）主编林益赵一男刘国钧叶提芳参编李开丁胡晓山朱祥和华中科技大学出版社中国武汉内 容 简 介本书是为独立学院学生编写的理工类基础课“复变函数与积分变换”的教材本书内容以“必需、够用”为度，通俗易懂，包括复数和复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数定理、保形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等本书不追求理论知识的完整性与系统性，而注重应用性，对其他理工类本科专业也适用图书在版编目（）数据复变函数与积分变换（第版）林益赵一男刘国钧叶提芳主编武汉：华中科技大学出版社，复 林赵刘叶 复变函数高等学校教材 中国版本图书馆 数据核字（）第 号复变函数与积分变换（第版）林益赵一男刘国钧叶提芳主编策划编辑：肖海欧责任编辑：史永霞封面设计：杨玲责任校对：代晓莺责任监印：张正林出版发行：华中科技大学出版社（中国武汉）武昌喻家山邮编：电话：（）录排：武汉市兴明图文信息有限公司印刷：华中科技大学印刷厂开本：印张：字数：千字版次：年月第版第次印刷定价：元本书若有印装质量问题，请向出版社营销中心调换全国免费服务热线：竭诚为您服务版权所有侵权必究新编高等院校公共基础课规划教材编委会成员名单（按拼音排序）毕重荣陈桂兴黄象鼎李德庆李中林廖超慧林益刘国钧孙清华汪福贵魏克让赵国石朱方生第版前言本书自出版以来得到了广大读者的肯定，也得到了同行专家的热心指导。为提高教材的质量，我们进行了修订。本次主要修订以下内容：（）更换了一些例题，使之更适应学生的实际与应用型人才培养的要求；（）增加或删除了一些习题。本书由林益（华中科技大学文华学院）、赵一男（中国地质大学江城学院）、刘国均（华中科技大学武昌分校）、叶提芳（武汉工业学院工商学院）担任主编，李开丁（华中科技大学）、胡晓山（华中科技大学）、朱祥和（华中科技大学武昌分校）参编。编者 年月书书书目录第章复数和复变函数（）复数（）复数的概念（）共轭复数及复数的四则运算（）复平面及复数的三角表达式（）复平面（）复数的模、辐角及三角表达式（）复数模的三角不等式（）利用复数的三角表达式作乘除法（）复数的乘方和开方（）平面点集（）复变函数（）复变函数的概念（）复变函数的极限和连续性（）习题（）第章解析函数（）解析函数的概念（）复变函数的导数（）解析函数的概念与求导法则（）函数解析的充要条件（）解析函数与调和函数的关系（）初等函数（）指数函数（）对数函数（）幂函数（）三角函数（）习题（）第章复变函数的积分（）复变函数的积分（）复变函数积分的定义（）复变函数积分的基本性质（）复变函数积分的计算方法（）柯西积分定理（）柯西积分公式（）习题（）第章级数（）复级数的基本概念（）复数项级数（）复变函数项级数（）幂级数（）泰勒级数（）罗朗级数（）习题（）第章留数定理（）零点与孤立奇点（）留数定理（）留数理论在实积分中的应用（），上三角函数的积分（）（，）上某些函数的广义积分（）积分（），其中（）习题（）第章保形映射（）保形映射的概念（）导数的几何意义（）保形映射的概念（）解析函数的保域性与边界对应原理（）分式线性变换（）分式线性变换的分解（）分式线性变换的保形性（）分式线性变换的保对称点性（）分式线性变换的应用举例（）几个初等函数的映射（）指数函数（）幂函数（）（）习题（）第章傅里叶变换（）傅里叶变换的概念（）傅里叶积分定理（）傅里叶变换的概念（）单位脉冲函数（）傅里叶变换的性质（）线性性质（）位移性质（）微分性质（）积分性质（）乘积定理（）能量积分（）卷积定理（）傅里叶变换的应用（）习题（）第章拉普拉斯变换（）拉普拉斯变换的概念（）傅里叶变换的局限性（）拉普拉斯变换的定义与存在性定理（）拉普拉斯逆变换公式（）拉普拉斯变换的性质（）线性性质（）微分性质（）积分性质（）位移性质（）延迟性质（）卷积及其性质（）卷积的概念（）卷积定理（）拉普拉斯变换的应用（）习题（）附录 傅里叶变换简表（）附录拉普拉斯变换简表（）部分习题答案（）参考文献（）书书书第章复数和复变函数复变函数论中所研究的函数的自变量与因变量均为复数，因此，对复数及复变函数应有清晰的认识 本章将介绍复数的概念、四则运算及三角表达式，平面点集，复变函数的概念、极限和连续性 复数 复数的概念二次方程在实数范围内没有解，为了使这个方程有解，就要把数的范围扩大，引入虚数单位，且槡从而方程就有了两个不同的解，即，槡槡 我们把形如 的数称为复数，其中和均为实数，称为复数的实部，记为 ，称为复数的虚部，记为 例如，槡，槡特别的，当 时，是实数；当 且 时，称为纯虚数设，如果，则称两个复数与相等，记为也就是说，的充要条件是与的实部和虚部分别相等 共轭复数及复数的四则运算设 ，则称复数 为复数的共轭复数，记为珔 显然，实数的共轭复数仍然为该实数设有两个复数，它们的四则运算定义如下加法和减法（）（）；（）（）乘法（）（）（）（），即按多项式的乘法法则进行，注意 例如（）（）（）（）一般的，设，则珔 称非负实数槡为复数的模，记为，于是可以写成下列恒等式：珔除法除以（）定义为珔珔（）（）（）（）事实上，除法运算是乘法运算的逆运算，即有例如（）（）（）（）从上面的运算规则可知，复数运算满足下列规律 设，是复数，则：（），（交换律）；（）（）（），（）（）（结合律）；（）（）（分配律）对于共轭复数，有下列运算性质：（）珔珔；（）珔珔；（）珔珔；（）；（）珔 ，珔 ；（）珔（）（）；（）复数是实数的充要条件是珔，复数是纯虚数的充要条件是珔且这些性质都不难证明，留给读者做练习例求下列复数的实部、虚部、共轭复数及模（）；（）；（）；（）（）（）（）；解（）（）（），因此，珔，（）（）槡槡（）（），因此，珔，（）（）槡槡（）（）（）（）（），因此，珔，（）槡 槡（）由于（）（）（）（）（）（）（）（）（），故 因此，珔，例设，证明：当且仅当时，是实数证证明是实数等价于证明（）珔珔，即（珔）珔（），也就是（珔）（珔）由于珔，珔，从而珔，即由于上述推导的每一步都是可逆的，因此命题得证例试写出方程的复数形式解令，则珔，于是珔，珔，珔将以上三式代入原方程，得到复数方程为珔珔例设，为任意复数，证明 （珔）证先证 （珔）由共轭复数的性质珔知，（）（）（）（珔珔）珔珔珔珔 珔珔注意到珔珔珔珔 （珔），从而有 （珔）对于等式 （珔），类似地可以证明 复平面及复数的三角表达式 复平面在平面上建立直角坐标系 ，则对于每一个复数，在平面上有唯一的一个点（，）与之对应；反之，对于平面上的每一个点（，），有唯一的复数 与之对应图（见图）这就是说，全体复数与平面上的点之间建立了一一对应关系，当平面上的点被用来代表复数时，我们就把这个平面叫做复（数）平面 复平面上轴上的点表示实数，因此轴称为实轴；轴上的点（除坐标原点外）表示纯虚数（），因此轴称为虚轴 今后，我们对复数和平面上的点不加区别，即“复数集”与“平面点集”用做同义语，“复数”和“点”也用做同义语图 复数的模、辐角及三角表达式在复平面上，复数也可以用平面上的一个自由向量来表示，这个自由向量在实轴和虚轴上的投影分别为和，它的起点可以是平面上任意一点 如果起点是原点，则向量的终点即是平面上的点，点的位置也可以用它的极坐标和来确定，如图所示称为复数的模，称为复数的辐角，记为槡，关于辐角必须注意以下两点（）任意复数（）有无穷多个辐角，我们把的辐角落在（，这个范围内的值称为辐角的主值，记为 显然，是由唯一确定的，如 （在第一、四象限内），（在第二象限内），（在第三象限内）烅烄烆若在正、负实轴上，则辐角的主值分别是和；若在上、下半虚轴上，则辐角的主值分别是和 当时，任一辐角与辐角的主值有如下关系：（为任意整数）（）当时，辐角是无意义的当已知复数（）的模和辐角时，这个复数也就完全确定了，因为 ，所以（），即（）（），这就是复数的三角表达式设（），（），则的充要条件是且（为任意整数）例用三角表达式表示下列复数，并求出辐角及辐角的主值（）；（）槡；（）图解（），则，在第四象限，于是槡（）槡 槡，如图所示，的辐角的主值 ，因此，的三角表达式为 槡 （）（），的辐角为图 （为任意整数）（）槡 ，则，槡，在下半虚轴上，于是槡 槡，的辐角主值 ，如图所示因此，槡 的三角表达式为 槡 （）（）槡 的辐角为 （为任意整数）（），则，在第三象限，于是槡 槡，图的辐角主值 ，如图所示 因此 的三角表达式为 槡 （）（）的辐角为 （为任意整数）例求 在 及 的三角表达式解当 时，于是 （）（）（）（三角表达式）当 时，于是 （）（注意）（）（）（三角表达式）例设（），求珔及的三角表达式解依题意，珔（）（）（），珔珔珔 （）（）（）（）例设复数满足 （），（），求解设，则（），（），于是，依题意，从而有槡，槡烅烄烆，解之得，槡因此 槡 复数模的三角不等式设，可以得到关于复数模的几个重要不等式（）槡，槡（）下面说明复数加减法的几何意义 既然复数可以用起点是原点的向量来表示，那么两个复数的加减法就可以利用向量的平行四边形法则或三角形法则来进行，如图所示图复数的模可以解释成复平面上点与坐标原点的距离，可以解释成复平面上点与点之间的距离，按照三角形的两边之和不能小于第三边（见图（），两边之差不大于第三边（见图（），就可得到下列关于复数模的三角不等式（）把改写成，得 （）把改写成，得 在不等式（）、（）中，等号当且仅当点与点位于通过原点的同一条直线上时成立这两个不等式还可以用代数方法证明由本章 节的例知，（珔），又因为（珔）珔 珔，即 （珔），所以有 （），（），即得 ，将不等式（）和不等式（）合在一起也可写成下列形式：及 利用不等式（）及数学归纳法可证明不等式（）（）这里需要强调的是，由于在复平面上表示点与之间的距离，因此，对固定的复数及实数，表示以为圆心、为半径的圆周 表示圆周的内部及圆周，表示圆周的外部以上所有不等式（）（）都是相对复数的模而言的 注意复数本身是不能比较大小的，这是复数与实数的一个不同之处 利用复数的三角表达式作乘除法设有两个复数（），（），则（）（）（）也就是说，两个复数的乘积是这样的一个复数：它的模等于原来两复数模的乘积，它的辐角等于原来两复数辐角之和，即，（）注意由于第二个等式的两边都是表示多值的式子，因此，在这里“”应理解成集合 （）与集合 相等，即对于 （）的任一值，一定存在一个 与 ，它们之和等于 （）；反过来，对于每一个 与 ，一定存在一个 （），使得 （）等于 与 之和从几何意义上解释复数乘法：把表示的那个向量逆时针转动一个角度，并图将长度放大倍，就得到代表的向量，如图所示如把 向 量逆 时 针 旋 转，就 得 到 了 向 量 ，即 （）；把向量顺时针旋转，就得到了向量 ，即 （）（）对于复数除法，有公式 （）（）（），即，例利用复数的三角表达式计算（槡）（槡）解因为 ，槡 槡（）（）（），槡槡（）（），因此（槡）（槡）（槡）（槡）（）（）（）（）（）（）槡 例利用复数的三角表达式计算（槡）解由于 ，槡 （），从而有（槡）（槡）（槡）（槡）（）（）（）（），因此（槡）（）（）复数的乘方和开方设是正整数，表示个复数的乘积，显然当时，当时，设（），由乘法的运算规则知，（）（）（）易知，式（）对于时也成立（定义时，），如果定义，则（）（）（）（）（）在式（）及式（）中令，得（），其中为任意整数，此公式称为德摩弗公式如当时，（），即 ，比较等式两边的实部和虚部，得到下列公式：，下面考虑开方，设为已知的复数，凡是满足方程（为正整数）（）的所有解，称为的次方根，记为槡当时，显然只有唯一解，即槡 当时，设（），（），将其代入方程（）并利用德摩弗公式得（）（）比较等式两端的模与辐角得，（，），即槡，由此导出了公式槡（）（）（）注意式（）中的虽然可以取任意整数，但得出的所有结果只有个是互不相同的 事实上，取，的个结果是互不相同的，取时与取时的结果一样（利用三角函数的周期性），取时与取时的结果一样，等等记 （）（，），由于这个复数，的模都是槡，因