HJSFXYXB1群中元素阶互素的性质及推广姜琴1,汪程2,袁力1(1.汉江师范学院数学与计算机科学学院,湖北十堰442000;2.十堰市郧阳中学,湖北十堰442000)[摘要]群中元素的阶对群的性质具有重要影响.通过对群中两个元素的阶互素并且可交换的性质进行梳理,分别将元素可交换的条件和元素阶互素的条件去掉,对原问题做进一步讨论,最后给出一个原问题的逆命题.[关键词]群;阶;互素;可交换[doi]10.19575/j.cnki.cn42-1892/g4.2022.06.001[中图分类号]O152.1[文献标识码]A[文章编号]2096—3734(2022)06—0001—03引言若群中两个元素的阶互素且可交换,则有下列结论:引理1若群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当(m,n)=1.且ab=ba时,有ab=mn=a·b.[1]27-28定理中条件m,n()=1和ab=ba为结论成立所必需,缺一不可.[2]同样的条件,还可得到下面的结论:引理2设群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当m,n()=1.且ab=ba时,有ab=mn.[3]56-57证明:因ab=ba,且a与b的阶互素,故由引理1可知ab的阶为mn,所以以ab为生成元的循环群ab的阶是mn.引理3若群G中元素a的阶是m,b的阶是n,则当m,n()=1且ab=ba时,有a,b=ab.[4,5]证明:因为a,b∈a,b,则ab∈a,b,故ab⊆a,b.又因a=m,b=n,且m,n()=1,所以存在整数s,t使ms+nt=1.又因ab=ba,则ab()nt=antbnt=ant=a1-ms=a·am()-s=a但是ab()nt∈ab,所以a∈ab,故a-1∈ab则a-1(ab)=b∈ab.故a,b⊆ab.综上可知a,b=ab.1主要结论上面的结论均要求群中元素a与b的阶互素且可交换,若将条件减弱,去掉元素可交换,则可有下面的结论:定理1若群G中元素a的阶为mn,且m,n()=1,则存在元素b,c∈G,使a=bc=cb,其中b=m,c=n,且这样的b,c是唯一的.证明:(存在性)由于m,n()=1,故存在整数s,t使ms+nt=1.设b=ant,c=ams,则显然a=bc=cb.又bm=ant()m=amn()t=e;若又有br=2022年12月汉江师范学院学报Dec.2022第42卷第6期JournalofHanjiangNormalUniversityVol.42No.6[收稿日期]2022-06-27[基金项目]2022年湖北省高等学校优秀中青年科技创新团队计划项目“超网络的动力学及控制研究”(项目编号:T2022035)阶段性成果.[作者简介]姜琴(1978-),女,湖北十堰人,汉江师范学院数学与计算机科学学院副教授,主要从事计算数学的研究.HJSFXYXB2e,则br=arnt=e,但是a=mn,故mnrnt,mrt.又因ms+nt=1,故m,t()=1,所以mr,故b=m.同理可证c=n.(唯一性)设另有b1,c1使a=b1c1=c1b1,b1=m,c1=n,则ant=b1ntc1nt=b1nt.又因nt=1-ms,故b1nt=b11-ms=b1b1ms()-1=b1,所以有b1=ant=...
