[收稿日期]2021-05-26;[修改日期]2022-05-29[基金项目]国家自然科学基金资助(11871031)[作者简介]杨传富(1968-),男,博士,教授,从事大学数学研究.E-mail:chuanfuyang@njust.edu.cn[通讯作者]张忠鼎(2001-),男,本科在读,自动控制专业.E-mail:zhangzhongding2021@163.com第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申杨传富1,张忠鼎2(1.南京理工大学数学系,南京210094;2.南京农业大学人工智能学院,南京210031)[摘要]运用极值思想给出第十一届全国大学生数学竞赛决赛一道几何题的统一解法,并将此方法推广到空间线—面位置关系等判断中.[关键词]极值;异面直线;线—面位置关系[中图分类号]O13;G642.3[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0120-051引言2021年第十一届全国决赛(数学类高年级组)全国大学生数学竞赛决赛试题第二大题如下:题A考虑单叶双曲面S∶x2-y2+z2=1.(i)证明:S上同一族直母线中任意两条不同的直母线是异面直线;(ii)设S上同一族直母线中的两条直母线分别经过M1(1,1,1)与M2(2,2,1)两点,求这两条直母线的公垂线方程以及这两条直母线之间的距离.这是一道空间几何问题,运用向量等知识可以给出该问题求解[1].而本文欲从微分学中极值观点将两直线(曲线)间距离视为两直线(曲线)上任意两点距离的最小值来给出本题解法.2题A的极值方法问题等价于求直母线L1∶λ1(x+y)=μ1(1+z),μ1(x-y)=λ1(1-z)与L2∶λ2(x+y)=μ2(1+z),μ2(x-y)=λ2(1-z)(λ1μ2≠λ2μ1)的距离,进而判断其是异面直线等问题.由S上同一族直母线中的两条直母线分别经过M1(1,1,1)与M2(2,2,1)两点,可知这两条直母线方程分别为L1,1∶x+y-z=1,x-y+z=1及L1,2∶x+y-2z=2,2x-2y+z=1,即L1,1∶x-10=y-11=z-11,L1,2∶x-23=y-25=z-14,其参数方程分别为L1,1∶x1=1,y1=t+1,z1=t+1,L1,2∶x2=3s+2,y2=5s+2,z2=4s+1.令P1(x1,y1,z1)∈L1,1与P2(x2,y2,z2)∈L1,2距离为ds,t,则d2s,t=(3s+1)2+(5s-t+1)2+(4s-t)2(s,t∈ℝ).下面求二元函数ds,t(s,t∈ℝ)的最小值.由∂d2s,t∂s∶=6(3s+1)+10(5s-t+1)+8(4s-t)=0,∂d2s,t∂t∶=-2(5s-t+1)-2(4s-t)=0,得s0=-719,t0=-2219(唯一驻点).因此得P11,-319,-319及P21719,319,-919,其距离最小值为ds,t|(s0,t0)=P1P2=219.公垂线P1P2方程为x-11=y+319,-3=z+3193,由其距离为219≠0,且取得最值只有一个驻点,可知L1,1与L1,2为异面直线.3极值与空间两直线位置关系事实上,对空间两条直线...
