全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申_杨传富.pdf

收稿日期2 0 2 1-0 5-2 6;修改日期2 0 2 2-0 5-2 9 基金项目国家自然科学基金资助(1 1 8 7 1 0 3 1)作者简介杨传富(1 9 6 8-),男,博士,教授,从事大学数学研究.E-m a i l:c h u a n f u y a n g n j u s t.e d u.c n 通讯作者张忠鼎(2 0 0 1-),男,本科在读,自动控制专业.E-m a i l:z h a n g z h o n g d i n g 2 0 2 11 6 3.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申杨传富1,张忠鼎2(1.南京理工大学 数学系,南京2 1 0 0 9 4;2.南京农业大学 人工智能学院,南京2 1 0 0 3 1)摘 要运用极值思想给出第十一届全国大学生数学竞赛决赛一道几何题的统一解法,并将此方法推广到空间线面位置关系等判断中.关键词极值;异面直线;线面位置关系 中图分类号O 1 3;G 6 4 2.3 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 1 2 0-0 51 引 言2 0 2 1年第十一届全国决赛(数学类高年级组)全国大学生数学竞赛决赛试题第二大题如下:题A 考虑单叶双曲面Sx2-y2+z2=1.(i)证明:S上同一族直母线中任意两条不同的直母线是异面直线;(i i)设S上同一族直母线中的两条直母线分别经过M1(1,1,1)与M2(2,2,1)两点,求这两条直母线的公垂线方程以及这两条直母线之间的距离.这是一道空间几何问题,运用向量等知识可以给出该问题求解1.而本文欲从微分学中极值观点将两直线(曲线)间距离视为两直线(曲线)上任意两点距离的最小值来给出本题解法.2 题A的极值方法问题等价于求直母线L11(x+y)=1(1+z),1(x-y)=1(1-z)与 L22(x+y)=2(1+z),2(x-y)=2(1-z)(1221)的距离,进而判断其是异面直线等问题.由S上同一族直母线中的两条直母线分别经过M1(1,1,1)与M2(2,2,1)两点,可知这两条直母线方程分别为L1,1x+y-z=1,x-y+z=1 及 L1,2x+y-2z=2,2x-2y+z=1,即L1,1x-10=y-11=z-11,L1,2x-23=y-25=z-14,其参数方程分别为L1,1x1=1,y1=t+1,z1=t+1,L1,2x2=3s+2,y2=5s+2,z2=4s+1.令P1(x1,y1,z1)L1,1与P2(x2,y2,z2)L1,2距离为ds,t ,则d2s,t =(3s+1)2+(5s-t+1)2+(4s-t)2(s,t).下面求二元函数ds,t (s,t)的最小值.由d2s,t s=6(3s+1)+1 0(5s-t+1)+8(4s-t)=0,d2s,t t=-2(5s-t+1)-2(4s-t)=0,得s0=-71 9,t0=-2 21 9(唯一驻点).因此得P1 1,-31 9,-31 9 及P2 1 71 9,31 9,-91 9,其距离最小值为ds,t|(s0,t0)=P1P2=21 9.公垂线P1P2方程为x-11=y+31 9,-3=z+31 93,由其距离为21 90,且取得最值只有一个驻点,可知L1,1与L1,2为异面直线.3 极值与空间两直线位置关系事实上,对空间两条直线1与2,用多元函数极值法求得1与2上任意两点距离ds,t 获取极值的驻点个数N及极值d.针对(N,d)就可以判断1与2的位置关系见图1.dN 00重合平行1相交异面图1(N,d)与线 线位置关系例1 判断下列两直线位置关系:(i)L1x1=y1=z1与L2x-11=y-11=z1;(i i)L1x1=y1=z1与L2x1=y1=z-1;(i i i)L1x1=y1=z1与L2x-21=y-21=z-21.解(i)L1上点P1(s,s,s)与L2上点P2(1+t,1+t,t)的距离d(s,t):d2s,t =2(1+t-s)2+(t-s)2.由d2s,t s=-4(1+t-s)-2(t-s)=0,d2s,t t=4(1+t-s)+2(t-s)=0,得t0-s0=-23(无穷个驻点),此时最小距离ds,t (s0,t0)=630.由图1知L1与L2平行.同样求得(i i)中问题唯一驻点s0=t0=0,此时最小距离d(s,t)(s0,t0)=0.由图1知L1与L2相交.(i i i)中问题无穷个驻点:t0-s0=-2,此时最小距离d(s,t)(s0,t0)=0,由图1知L1与L2重合.例2(全国大学生数学竞赛初赛试题)判断直线L1x+11=y1=z-12与直线L2x1=y+13121第6期 杨传富,等:全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申=z-24是否在一个平面上,若不在同一个平面上,试求两直线的距离.解 L1上点P1(-1+s,s,1+2s)与L2上点P2(t,-1+3t,2+4t)的距离d(s,t):d2s,t =(-1+s-t)2+(1+s-3t)2+(-1+2s-4t)2(s,t).由d2s,t s=2(-1+s-t)+2(1+s-3t)+4(-1+2s-4t)=0,d2s,t t=-2(-1+s-t)-6(1+s-3t)-8(-1+2s-4t)=0,得s0=73,t0=1(唯一驻点).此时ds,t (s0,t0)=330.由图1知L1与L2为异面直线,故L1与L2不在一个平面内,其距离为33.例3(第二届中国大学生数学竞赛非数学类预赛试题)求直线L1x-y=0z=0 与直线L2x-24=y-1-2=z-3-1的距离.解 L1上点P1(t,t,0)与L2上点P2(2+4s,1-2s,3-s)的距离d(s,t):d2s,t =(2+4s-t)2+(1-2s-t)2+(3-s)2.求得唯一驻点s0=0,t0=32.此时ds,t (s0,t0)=1 920.因此,由图1知L1与L2为异面直线,且距离为1 92.例4(第一届中国大学生数学竞赛数学类决赛试题)已知两直线方程Lx=y=z,L x1=ya=z-b1.(i)参数a,b满足什么条件时,L与L 是异面直线?(i i)当L与L 不重合时,求L 绕L旋转生成的旋转面的方程,并指出曲面的类型.解 问题(i)的求解.L上点P1(t,t,t)与L 上点P2(s,a s,b+s)的距离d(s,t):d2s,t =(t-s)2+(t-a s)2+(t-b-s)2.由d2s,t s=2(t-s)+2(t-a s)+2(t-b-s)=0,d2s,t t=-2(t-s)-2a(t-a s)-2(t-b-s)=0,得s0=b2(a-1),t0=a b2(a-1).此时最小距离ds,t (s0,t0)=b2.由此可知a-10且b0时L与L 为异面直线.例5(第六届中国大学生数学竞赛数学类预赛试题)已知空间两条直线L1x-41=y-3-2=z-81,L2x+17=y+1-6=z+11.(i)证明L1和L2异面;(i i)求L1和L2的公垂线的标准方程;(i i i)求连接L1上任一点和L2上任一点线段中点轨迹的一般方程.解 问题(i)与(i i)的求解.L1上点P1(4+s,3-2s,8+s)与L2上点P2(-1+7t,-1-6t,-1+t)221大 学 数 学 第3 8卷的距离d(s,t):d2s,t =(5+s-7t)2+(4-2s+6t)2+(9+s-t)2.求得唯一驻点s=-1,t=0.此时P1(3,5,7),P2(-1,-1,-1)及ds,t (-1,0)=1 1 6 0.因此L1与L2为异面直线,公垂线标准方程为 x+12=y+13=z+14.4 引申:极值与直线 平面,平面 平面位置关系等可以运用上面用极值法讨论空间直线 直线位置关系的思想分析直线-平面及平面 平面的位置关系.空间直线:x=x1(t),y=y1(t),z=z1(t),平面:x=x2(u),y=y2(v),z=z2(u,v).上点P1(x1(t),y1(t),z1(t)与平面上点P2(x2(u),y2(v),z2(u,v)的距离d(t,u,v)=P1P2.运用极值法求得函数取得极值的驻点个数N及极值d.由(N,d)就可判断与平面位置关系如下:dN 00在内平行1相交图2(N,d)与线 面位置关系同样面 面位置关系如下(m e s.N表示驻点集在2中测度)dm e s.N 000相交重合平行图3(m e s.N,d)与面 面位置关系5 结 论微分学中最(极)值问题在几何、物理及实际问题中具有重要应用,本文利用函数极值方法解决几何中一些距离及位置关系等问题.几何问题中曲线-曲面间的距离实际上是其上两点间距离的最(极)小值,因此曲线-曲面间距离的值及相关量某种程度上反映了曲线-曲面间的位置关系.本文通过对具体几何问题适当简化、建模,再抽象出一个数学极值问题,最后运用数学方法加以解决2.本文运用极值思想给出一类几何题的统一方法,并将此方法推广到空间线-面位置关系等判断中,表明极值法求解几何问题的灵活性、广泛性及统一性.致谢 作者非常感谢审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 张文哲.多元多项式函数的极值J.大学数学,2 0 2 0,3 6(3):8 3-8 9.2 褚蕾蕾,李换琴,张芳.“高等数学”教学与反思取向的教师专业发展J.大学数学,2 0 2 0,3 6(4):2 0-2 4.321第6期 杨传富,等:全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申E x t r e m u m M e t h o dt oG e o m e t r yP r o b l e mi nt h eN a t i o n a lC o l l e g eS t u d e n t sM a t h e m a t i c sC o m p e t i t i o na n dE x t e n s i o nYANGC h u a n f u1,Z HANGZ h o n g d i n g2(1.D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s,N a n j i n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,2 1 0 0 9 4N a n j i n g,C h i n a;2.C o l l e g eo fA r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e,N a n j i n gA g r i c u l t u r eU n i v e r s i t y,2 1 0 0 3 1N a n j i n g,C h i n a)A b s t r a c t:W ea p p l ye x t r e m u m m e t h o dt os o l v eg e o m e t r yp r o b l e mi nt h e1 1 t hn a t i o n a l c o l l e g es t u d e n t sm a t h e m a t i c sc o m p e t i t i o n,a n de x t e n d i t t o j u d g ep o s i t i o n a l r e l a t i o n s h i pb e t w e e nL i n ea n d/o rp l a n e.K e yw o r d s:e x t r e m u m m e t h o d;s k e wl i n e s;p o s i t i o n a l r e l a t i o n s h i pb e t w e e nl i n ea n d/o rp l a n e421大 学 数 学