2023学年甘肃省张掖市第二中学高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A． B． C． D． 2．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A．1 B． C． D．0 3．复数的虚部是 ( ) A． B． C． D． 4．函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 5．已知锐角满足则（ ） A． B． C． D． 6．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（ ） A． B． C．3 D． 7．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( ) A． B．0 C． D． 9．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论： ①②③④点为函数的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 10．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 11．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A． B． C． D． 12．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点 C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______. 14．函数的单调增区间为__________. 15．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=） 16．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围． 18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. （1）求和的普通方程； （2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值. 19．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20．（12分）若函数为奇函数，且时有极小值. （1）求实数的值与实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 21．（12分）已知数列满足，，，且. （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 22．（10分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【题目详解】 如图所示： 设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为， 又因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算. 2、B 【答案解析】 根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【题目详解】 由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由， 白蚂蚁爬完2020段后到回到C点； 同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点， 所以它们此时的距离为. 故选B. 【答案点睛】 本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题. 3、C 【答案解析】 因为 ，所以的虚部是 ，故选C. 4、A 【答案解析】 确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项． 【题目详解】 时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 5、C 【答案解析】 利用代入计算即可. 【题目详解】 由已知，，因为锐角，所以，， 即. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 6、A 【答案解析】 由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可. 【题目详解】 由余弦定理得：， 又，所以得， 故△ABC的面积. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力. 7、A 【答案解析】 根据题意得到，化简得到，得到答案. 【题目详解】 根据题意知：焦点到渐近线的距离为， 故，故渐近线为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8、D 【答案解析】 运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【题目详解】 由题意，函数为辅助角， 由于函数的对称轴的方程为，且， 即，解得，所以， 又由，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设，， 所以， 当时，的最小值，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9、B 【答案解析】 首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得； 【题目详解】 解：由题意可得， 又∵和的图象都关于对称，∴， ∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，， ∴①③④正确，②错误. 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题. 10、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 11、C 【答案解析】 先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【题目详解】 从6个球中摸出2个，共有种结果， 两个球的号码之和是3的倍数，共有 摸一次中奖的概率是， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是， 有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题． 12、A 【答案解析】 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上. 【题目详解】 ,， , 又，, 平面,又平面 ， 故在以为直径的圆上， 又是内异于的动点， 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【题目详解】 设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题. 14、 【答案解析】 先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间. 【题目详解】 函数的定义域为. ， 令，则，故函数的单调增区间为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题. 15、> 【答案解析】 根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系. 【题目详解】 ，故 . ， . 要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得 ①， 由于为互不相等的正实数，故，也即 ，也即. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题. 16、1 【答案解析】 由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解． 【题目详解】 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9， ②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9， ③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5， 综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1， 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）． 【答案解析】 试题分析