平面运动学的欧拉公式描述和分析_郑拯宇.pdf

第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20211031;修回日期:20220412作者简介:郑拯宇(1969)，男，汉族，重庆市，重庆理工大学 机械工程学院副教授，博士，副教授，主要从事工程力学、空气动力学、车辆工程研究通信作者:郑拯宇，zhengzhengyu 126com教学讨论平面运动学的欧拉公式描述和分析郑拯宇(重庆理工大学 机械工程学院，重庆400054)摘要:针对平面运动学相关问题，采用复函数平面代替传统的 Oxy 坐标系的实数平面并引入以复指数形式表达的欧拉公式，进行描述和分析，避免了传统的实数平面矢量分析中点积和叉积运算规则所带来的困惑以及繁琐的矢量分析 并引入了瞬时坐标系，其结论与经典理论完全一致关键词:理论力学;平面运动学;复变函数平面;欧拉公式中图分类号:O 311文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0008-04【DOI】1016854/jcnki1000-0712220001平面运动学是通过定义各运动要素之间的关系来描述研究对象的机械运动规律由于相对性是机械运动的重要特征之一，因此在不同参考系下对同一研究对象所表现出的运动特征(或规律)是不同的;并且，用以描述机械运动规律的相关运动特征参数(角速度、角加速度等)是带有方向性的，具有矢量形式这就需要在各参考系下对这些运动特征参数进行繁琐的矢量描述和分析，并确定不同参考系下各矢量之间的转换关系研究表明:国内外现代理论力学教材普遍系统地采用了矢量记号1，尤其在平面运动学问题的描述和分析上主要是采用矢量分析法进行的2-4 但现有教材中的矢量分析法的推导过程较为繁琐，不易理解并且，由于理论力学教材中相关概念并不十分准确和完整，尤其是对于点的运动合成定理中相对位移、相对速度、相对加速度等概念的描述存在一定的歧义5，6，从而使得平面运动学长期以来一直成为理论力学教学实践活动中的难点和探讨热点7-10 鉴于此，一些学者试图利用复变函数的某些性质来解决平面运动学的部分问题，并进行了有益的探索11-13，但其推衍过程仍显繁琐和不足本文将复变函数领域中的欧拉公式引入平面运动学中，全面描述并分析了平面运动学中的相关问题由于复平面概念将复数与矢量紧密联系起来，其中的复数四则运算规则为确定不同参考系下各矢量之间的转换关系提供了方法与规则，而欧拉公式的引入则为复数的四则运算带来了简洁和规范1平面动点的复平面描述11欧拉公式莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler)所建立的欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系了起来，从而使得三角函数的定义域扩大到复平面领域14:ei=cos+isin(1)其中:e 是自然常数，i 是虚数单位，是以弧度为单位的参数，这里取逆时针为正值e是沿径矢方向的单位矢量，横向单位矢量垂直径矢方向且与 增大方向一致，易知 e与 e之间的关系可用下式表示:e=cos+isin=ei，e=sin+icos=ei+2=ie(2)e垂直于 e，即方向沿 e逆时针旋转/2 度利用数学变换，可知dedt=(ie)=e，dedt=e(3)可见，复指数形式的欧拉公式的引入为复平面领域的矢量计算提供了一套简洁规范的运算规则第 12 期郑拯宇:平面运动学的欧拉公式描述和分析9同时，由于复数对于四则运算是封闭的，这为利用欧拉公式研究矢量在复平面的旋转变换和平移条件下的变换带来可能12平面点的描述平面上任一动点 M 的运动均可建立相应的复平面并引入欧拉公式对其径矢的变化进行描述(如图 1所示)则动点 M 的运动方程可用如下形式描述:图 1复数平面中的欧拉公式rM(t)=|rOM(t)|cos(t)+isin(t)=rOMei(4)2平面运动学分析21点的运动描述现假设复平面上动点 M 的矢径 r 末端描绘出一条连续的矢端曲线(即动点 M 的运动轨迹)，动点在t 时间段从 M 点沿轨迹移动至 M点，如图 2 所示图 2动点 M 的运动轨迹动点 M 的速度可表示为vM=limt0rOMt=drOMdt=rOM(t)ei(t)+rOM(t)(t)iei(t)=rOMe+rOMe(5)将式(5)对时间求二次导数，则可得到动点 M的加速度:aM=d2rOMdt2=rOMrOM2 e+2 rOM+rOM e=a+a(6)可见，动点 M 的运动参数随时间的变化规律体现在矢径方向 e以及垂直矢径的方向 e上由于上式包含了矢径的模 rOM(t)对时间的一阶和二阶导数，这将对于诸如点的螺旋运动等变径矢运动状态的理解和分析带来便利若动点 M 的运动轨迹已知，则可以在复平面上采用瞬时坐标系的概念:即选取动点轨迹上任意瞬时 M 点处的曲率中心为瞬时复平面的原点 O则动点 M 的矢径可表示为r(t)=ei(t)(7)这里，为动点轨迹上该瞬时 M 点处的曲率半径，为常量;(t)是轨迹上该瞬时点的曲率中心方向与水平轴的夹角将上式代入式(5)和式(6)，则可轻易地推导出动点 M 的经典弧坐标形式:vM=(t)iei(t)=(t)et=v，aM=2(t)ei(t)=(t)iei(t)=anen+atet=an+at(8)其中，e=iei(t)是动点轨迹上 t 时刻 M 点处的切向单位矢量;en=ei(t)是其法向单位矢量(如图 2所示)22点的合成运动由于相对性是机械运动的重要特征之一，因此对于平面上点的复杂运动，一般需要建立定系和动系以便直观描述动点的运动为了研究动点 M 的合成运动，分别以点 O 和点 O为原点建立定复平面(定系)和动复平面(动系)，如图 3 所示其中，单位向量:e=ei(+)，e=iei(+)图 3点的合成运动则动点 M 的矢径可描述为rM=rO+rOM=rO+rOMei(+)(9)10大学物理第 41 卷将式(9)两端对时间求导，可得动点 M 的绝对速度和绝对加速度:va=drMdt=rO+rOM+rOM(+)iei(+)=(rO+rOMe)+(rOMe+rOMe)=ve+vr，aa=d2rMdt2=(rOrOM2e+rOMe)+(rOMrOM2)e+(2 rOM+rOM2)e+(2 rOMe2rOMe)=ae+ar+aC(10)这里，ve=rO+rOMe表示牵连速度，ae=rOrOM2e+rOMe为牵连加速度;aC=(2 rOMe2rOMe是科氏加速度，表明科氏加速度产生的前提条件是动复平面的旋转(0);vr=rOMe+rOMe是相对速度，ar=(rOMrOM2)e+(2 rOM+rOM2)e是相对加速度，式中所出现的 rOM项与梅凤翔先生主编的工程力学15 中所出现的相对矢量的相对导数概念是一致的若动复平面上动点相对运动轨迹已知，则可采用瞬时坐标系概念，并结合式(5)、式(6)和式(8)，则可得到所熟悉的经典相对速度和相对加速度的表示形式16，17:vr=(t)et=vtr，ar=2(t)ei(t)+(t)iei(t)=anr+atr(11)23刚体的运动分析刚体是各质点间的相对位置保持不变的特殊质点系，同样需要建立定系和固结于刚体的动系来直观描述刚体上点的运动因此，刚体运动的分析可归属于特殊情况下点的合成运动分析，其核心仍是本文所推导出的式(10)所不同的是:需根据刚体运动情况(平行移动、定轴转动和平面运动)对公式中所出现的各参数(rO、rOM、)是否为变量进行必要的设定和说明1)刚体的平行移动若刚体在平面上作平行移动，则选取刚体上某点 O为动复平面的原点，建立随刚体平移的动复平面，如图 4 所示图 4刚体的平行移动刚体上任一点 M 的矢径 rM均可表示如下:rM=rO+rOM=rO+rOMei(12)这里，rOM=常量;=常量;rO=矢变量现将式(12)代入式(10)(此时刚体作平移，=0，可得到点动点 M 的速度及加速度:vM=drMdt=rO=vOaM=d2rMdt2=rO=aO(13)上式表明:对于平行移动刚体，其上所有点的速度以及加速度均是相同的，故可以用刚体上任一点的运动代表整个刚体的运动2)刚体的定轴转动设平面上某刚体绕其通过转动中心 O的轴进行定轴转动，则选取转动中心 O为原点建立随刚体定轴转动的动复平面，M 为刚体上任一点，如图 5所示图 5刚体的定轴转动动点 M 的径矢可表示为第 12 期郑拯宇:平面运动学的欧拉公式描述和分析11rM=rO+rOM=rO+rOMei(+)(14)这里，rO=常矢量;rOM=常量;=常量;=变量;法向和切向单位矢分别为:en=ei(+)，et=iei(+)将式(14)代入式(10)，则得到点 M 的绝对速度和绝对加速度:vM=rOMiei(+)=rOMet=vtM，aM=rOMet+rOM2en=atM+anM(15)上式表明，定轴转动刚体上任意点 M 的速度 vM是沿其轨迹的切线方向;而其加速度 aM是由切向加速度 atM和法向加速度 anM组成3)刚体的平面运动若刚体作平面运动，则在刚体上选取一点 O作为原点(基点)建立动复平面，M 为刚体上任意点，如图 6 所示图 6刚体的一般平面运动动点 M 的矢径可描述为rM=rO+rOM=rO+rOMei(+)(16)这里，rO=变矢量;rOM=常量;=常量;=变量将式(16)代入式(10)可知:vM=rO+rOMiei(+)=vO+rOMet=vO+vMO，aM=rO+rOMet+rOMdetdt=aO+rOMet+rOM2en=aO+(atMO+anMO)(17)表明:若刚体作一般平面运动，其上任意点 M的速度 vM可分解为随基点 O的速度 vO和该点随刚体绕基点转动的相对速度 vMO;而加速度 aM是由基点 O的加速度 aO以及该点随刚体绕基点转动所产生的相对切向速度 atMO和相对法向加速度 anMO组成3结论本文采用复函数平面以代替传统的 Ox、Oy 轴实数平面，利用复数与向量的对应关系，并引入以复指数形式表达的欧拉公式，其封闭的四则运算公式为理论力学中的平面运动学问题的矢量分析与计算提供了一套规范的运算规则，避免了实数平面矢量分析中的点积和叉积运算规则所带来的困惑，从而使得平面运动学的分析与计算变得简洁和规范由于整个平面运动学分析是建立在复函数平面上的，因此只需要关注动点、基点(参考点)在复平面(含定、动复平面)的矢量表达，并转换成相应的欧拉公式复指数形式，利用速度和加速度的定义并结合复指数的运算规则，可快速地获得动点完整的速度和加速度在已知动点轨迹的前提下，引入瞬时坐标系的概念，则所得到的平面运动学问题(刚体的运动、点的合成运动)中的速度和加速度与经典理论完全一致参考文献:1 陈立群欧美理论力学教材中的运动学J 力学与实践，2020，42(6):771-777 2 Meriam JL，Karige LGEngineering Mechanics:Dynamics(8th edn)M New York:John Wiley Sons，2015 3Beer FP，Johnston EVector Mechanics for Engineers:Dynamics(11th edn)M Boston:MeGrawHill，2015 4 Magnus K，M ullerSlany HHGrundlagen der Technisch-enMechanik M Berlin:Springer，2005 5 邵兴速度合成定理几何证明中一直存在的概念错误 J 力学与实践，2012，34(1):99-100 6 王斌耀，徐鉴关于点的合成运动速度合成定理两种推导的辨析 J 力学与实践，2007，29(05):64-66 7 杨成鹏，张娟，王佩艳关于速度合成定理两种推导法的统一性分析 J 常州工学院学报，2019，32(03):39-42，46 8 王维，丁俊，杨建波将“耦合位移”引入速度合成定理的几何法推导 J 力学与实践，2016，38(05):591 9 佘少华点的速度合成定理的几何推证J 力学与实践，1991，13(02):58-57 10 邵瀚雍刚体一般运动的描述