2023学年甘肃省河西五市高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则＝( ) A． B． C． D． 2．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A．17种 B．27种 C．37种 D．47种 3．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ） A．年该工厂的棉签产量最少 B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显 C．三年累计下来产量最多的是口罩 D．口罩的产量逐年增加 4．已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 5．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( ) A．任意，使方程无实根 B．任意，使方程有实根 C．存在，使方程无实根 D．存在，使方程有实根 6．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．当时，函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8． “”是“函数的图象关于直线对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．140 D．120 10．若复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 11．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ） A． B． C． D． 12．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____． 14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________． 15．记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是　　　. 16．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数其中 (Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值; (Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，. 18．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点. （1）求椭圆方程； （2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标. 19．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，，点为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由． 20．（12分）已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线？ （2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由. 21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，证明：对； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。 22．（10分）已知函数. （1）若函数，求的极值； （2）证明：. （参考数据： ） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集. 【题目详解】 由解得，故，所以，故选A. 【答案点睛】 本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2、C 【答案解析】 由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【题目详解】 所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种, 故选:C 【答案点睛】 本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 3、C 【答案解析】 根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论. 【题目详解】 由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误； 由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 4、A 【答案解析】 由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有 ，所以 【题目详解】 ∵ ∴由余弦公式的二倍角展开式有 又∵ ∴ 故选：A 【答案点睛】 本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 5、A 【答案解析】 只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可. 【题目详解】 由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是 “任意，使方程无实根”. 故选：A 【答案点睛】 本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题. 6、A 【答案解析】 根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值． 【题目详解】 因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为． 令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以 当时，，故，解得． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 7、B 【答案解析】 由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 8、A 【答案解析】 先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解. 【题目详解】 若函数的图象关于直线对称， 则， 解得， 故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 10、D 【答案解析】 先化简得再求得解. 【题目详解】 所以. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11、B 【答案解析】 直接代入检验，排除其中三个即可． 【题目详解】 由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，， 故选：B． 【答案点睛】 本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 12、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、（-4，2） 【答案解析】 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 14、 【答案解析】 记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填． 15、 【答案解析】 试题分析：显然，又， ①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而 ②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而 综上所述，的取值范围是． 考点：不等式、简单线性规划. 16、 【答案解析】 根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数 取得最小值. 【题目详解】 由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分： 将目标函数，转化为， 平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点 此时，目标函数 取得最小值，最小值为 故答案为：-1 【答案点睛】 本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析 【答案解析】 (Ⅰ)求导得到，，解得答案. (Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明. 【题目详解】 (Ⅰ)，故， ，故. (Ⅱ) ，即，存在唯一零点， 设零点为，故，即， 在上单调递减，在上单调递增， 故 ， 设，则， 设，则，单调递减， ，故恒成立，故单调递减. ，故当时，. 【答案点睛】 本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键. 18、（1）；（2）或 【答案解析】 （1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程； （2）设，