2023学年甘肃省甘谷县第一中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ） A．命题是真命题 B．命题的逆命题是真命题 C．命题的否命题是“若，则” D．命题的逆否命题是“若，则” 2．集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（ ） A．128 B．65 C．64 D．63 4．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线. 给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 8．复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 9．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ） A．4 B． C． D． 10．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 11．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 12．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________. 14．已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_____. 15．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____． 16．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点． （1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值； （2）求的取值范围． 18．（12分）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求实数的取值范围． 19．（12分）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 全国累计报告确诊病例数量（万人） 1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5 （1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？ （2）求出关于的线性回归方程（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，. 20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 21．（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率． （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值． 表中，，，． 根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程． ①求关于的回归方程； ②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取） 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 22．（10分）已知函数． （1）若曲线在处的切线为，试求实数，的值； （2）当时，若有两个极值点，，且，，若不等式恒成立，试求实数m的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论. 【题目详解】 解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误； 命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确； 命题的否命题是“若，则”，C选项错误； 命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题. 2、A 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案. 【题目详解】 ，，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 3、D 【答案解析】 根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求. 【题目详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是等比数列， 又因为， 所以， . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4、B 【答案解析】 根据题意计算，，，解不等式得到答案. 【题目详解】 ∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴. ∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴. ∴ . ∵，∴，解得.则当时，的最大值是9. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 5、B 【答案解析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【题目详解】 正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为，故选B. 【答案点睛】 本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 6、A 【答案解析】 根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值． 【题目详解】 因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为． 令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以 当时，，故，解得． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 7、B 【答案解析】 利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④. 【题目详解】 ， 解得（当且仅当时取等号），则②正确； 将和联立，解得， 即圆与曲线C相切于点，，，， 则①和③都错误；由，得④正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 8、C 【答案解析】 ，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【题目详解】 由已知，，故的虚部为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 9、C 【答案解析】 根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解. 【题目详解】 因为表示圆， 所以，解得， 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 即 ， 解得， 此时， 因为，在递增， 所以的最大值. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10、D 【答案解析】 结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【题目详解】 若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：D 【答案点睛】 本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题. 11、D 【答案解析】 根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率． 【题目详解】 由题意可知，代入得：， 代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 12、B 【答案解析】 根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【题目详解】 如图所示： 因为正四棱锥底边边长为，高为， 所以 ， 到 的距离为， 同理到 的距离为1， 所以为球的球心， 所以球的半径为：1， 所以球的表面积为. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、3 【答案解析】 根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高）,可得,进而可求出的值 【题目详解】 解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知 ,解得.