2023学年福建省莆田市莆田第七中学高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ） A．依次成等差数列 B．依次成等差数列 C．依次成等差数列 D．依次成等差数列 2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 3．设为自然对数的底数，函数，若，则( ) A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ） A．3 B． C． D． 5．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ） ①数列的任意一项都是正整数； ②数列存在某一项是5的倍数. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 6．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．函数的定义域为，集合，则（ ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线相切，则（ ） A．3 B． C．2 D． 9．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ） A． B． C． D． 10．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（ ） A．图象关于点对称，在区间上为增函数 B．函数最大值为2，图象关于点对称 C．图象关于直线对称，在上的最小值为1 D．最小正周期为，在有两个根 11．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 12．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________. 14．已知等差数列满足，，则的值为________． 15．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______． 16．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且． （1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望； （2）证明：数列是等比数列； （3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率． 18．（12分）已知函数，其中． （1）①求函数的单调区间； ②若满足，且．求证： ． （2）函数．若对任意，都有，求的最大值． 19．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 20．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，. （Ｉ）证明：； （Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长. 21．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状； (2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长. 22．（10分）已知，函数. （Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值； （Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果. 【题目详解】 依次成等差数列，， 正弦定理得， 由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 2、B 【答案解析】 将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【题目详解】 当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 3、D 【答案解析】 利用与的关系，求得的值. 【题目详解】 依题意， 所以 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查函数值的计算，属于基础题. 4、D 【答案解析】 由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【题目详解】 由双曲线方程可知：，渐近线方程为：， 一条渐近线的倾斜角为，，解得：. 故选：. 【答案点睛】 本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求. 5、A 【答案解析】 利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【题目详解】 因为,是方程的两个不等实数根, 所以,, 因为, 所以 , 即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和, 又,, 所以,,, 以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由,,依次计算可知, 数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【答案点睛】 本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 6、C 【答案解析】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案. 【题目详解】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则， 在中，，故，即. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7、A 【答案解析】 根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解. 【题目详解】 解：由函数得，解得，即； 又，解得，即， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题. 8、A 【答案解析】 设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【题目详解】 设切点为， ∵，∴ 由①得， 代入②得， 则，， 故选A. 【答案点睛】 该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 9、C 【答案解析】 根据题目中的基底定义求解. 【题目详解】 因为， ， ， ， ， ， 所以能作为集合的基底， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【题目详解】 函数， 则， 将向左平移个单位， 可得， 由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误； 对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确； 对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误； 综上可知，正确的为C， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题. 11、C 【答案解析】 利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果. 【题目详解】 ， 所以，即. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 12、D 【答案解析】 根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果. 【题目详解】 ，，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可. 【题目详解】 由已知，， ，又，故， ，所以的最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题. 14、11 【答案解析】 由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解； 【题目详解】 解：设等差数列的公差为， ， 又因为，解得 故答案为： 【答案点睛】 本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题. 15、 【答案解析】 根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【题目详解】 根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x， 又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx， 则有，即a＝2b， 则cb， 则该双曲线的离心率e； 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题． 16、 【答案解析】 取的中点为M，由可得，可得M在上，当最小时，弦的长才最大. 【题目详解】 设为的中点，，即， 即，，. 设，则，得. 所以，. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、见解析 【答案解析】 （1）由题可得的所有可能取值为，，，， 且，， ，， 所以的分布列为 所以的数学期望． （2）由题可得，所以， 又，，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）可得 ． 18、（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2