2023学年湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学高三第二次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出（ ） A．2 B．10 C．34 D．98 3．已知满足，则（ ） A． B． C． D． 4．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 5．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ） A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B．天津的往返机票平均价格变化最大 C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当 D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 6．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A． B． C． D． 7．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（ ） A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0 8．中，点在边上，平分，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 9．复数（ ）． A． B． C． D． 10．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( ) A． B． C． D． 11．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 12．复数（为虚数单位），则等于（ ） A．3 B． C．2 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________． 14．的展开式中常数项是___________. 15．平面向量与的夹角为，，，则__________． 16．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望. 18．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列； （2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 19．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点． （1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值； （2）求的取值范围． 20．（12分）已知函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若，当时，函数，求函数的最小值． 21．（12分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足. (1)求的方程； (2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围. 22．（10分）已知函数，． （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 2、C 【答案解析】 由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【题目详解】 由题意运行程序可得： ，，，； ，，，； ，，，； 不成立，此时输出. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题. 3、A 【答案解析】 利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【题目详解】 ，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4、C 【答案解析】 由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可 【题目详解】 因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故. 故选：C 【答案点睛】 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 5、D 【答案解析】 根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【题目详解】 对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确. 对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确. 对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确. 对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题. 6、D 【答案解析】 设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可. 【题目详解】 设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得， 所以圆锥的体积. 故选：D 【答案点睛】 本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 7、A 【答案解析】 试题分析：渐近线方程是﹣y2=1，整理后就得到双曲线的渐近线． 解：双曲线 其渐近线方程是﹣y2=1 整理得x±2y=1． 故选A． 点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题． 8、B 【答案解析】 由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【题目详解】 平分，根据三角形内角平分线定理可得， 又，，，， . . 故选：. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 9、A 【答案解析】 试题分析：，故选A. 【考点】复数运算 【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 10、C 【答案解析】 由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项. 【题目详解】 由题意得，解得，所以，所以， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题. 11、D 【答案解析】 根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【题目详解】 依题意有， ① ， ② ①②得，又因为， 所以，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 12、D 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解. 【题目详解】 ， 所以，， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果. 【题目详解】 向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称 关于对称 即： 本题正确结果： 【答案点睛】 本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 14、-160 【答案解析】 试题分析：常数项为. 考点：二项展开式系数问题. 15、 【答案解析】 由平面向量模的计算公式，直接计算即可. 【题目详解】 因为平面向量与的夹角为，所以， 所以; 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型. 16、 【答案解析】 把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值． 【题目详解】 解：由，得， ， 即， ， 又， ，解得：． 为正的常数，． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）见解析， 【答案解析】 （1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值. 【题目详解】 （1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P. 则， ， . 所以. 答：发生调剂现象的概率为. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2. 则， ， . 所以X的分布表为： X 0 1 2 P 所以. 【答案点睛】 本题是一道考查概率和期望的常考题型. 18、（1）分布列见解析；（2）406. 【答案解析】 （1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列. （2）计算，代入数据计算比较大小得到答案. 【题目详解】 （1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则. 所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为. 依题意可知，，所以的分布列为： （2）方案②中. 结合（1）知每个人的平均化验次数为： 时，，此时1000人需要化验的总次数为690次， 时，，此时1000人需要化验的总次数为604次， 时，，此时1000人需要化验的次数总为594次， 即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次， 故在这三种分组情况下，相比方案①， 当时化验次数最多可以平均减少次. 【答案点睛】 本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19、（1）证明见解