2023学年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是（ ）. A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少 C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍 D．2016年与2019年艺体达线人数相同 2．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ） A． B． C． D． 4．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米 5．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ） A． B． C． D． 6．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ） ①绕着轴上一点旋转; ②沿轴正方向平移; ③以轴为轴作轴对称; ④以轴的某一条垂线为轴作轴对称. A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 9．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 10．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 11．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ） A．100 B．1000 C．90 D．90 12．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 14．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______. 15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______. 16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，， （Ⅰ）证明；AC⊥BP； （Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值． 18．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点. 19．（12分）设函数，. （1）解不等式； （2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标； （2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值. 21．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足 （1）求点的轨迹的方程； （2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程． 22．（10分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，证明. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D. 【题目详解】 设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为， 2019年不上线人数为，故A正确； 2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误； 2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了 倍，故C错误； 2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目. 2、C 【答案解析】 首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【题目详解】 取中点，由，可知：， 为三棱锥外接球球心， 过作平面，交平面于，连接交于，连接，，， ，，，为的中点 由球的性质可知：平面，，且． 设， ，， ，在中，， 即，解得：， 三棱锥的外接球的半径为：， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 3、A 【答案解析】 根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解. 【题目详解】 当为奇数时，， 则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列， 当为偶数时，， 则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列. 所以 . 故选：A 【答案点睛】 本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 4、B 【答案解析】 由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【题目详解】 因为弧长比较短的情况下分成6等分， 所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为63(厘米). 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 5、D 【答案解析】 由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项. 【题目详解】 由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为. ①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是， 两种事件又是互斥的,∴，即，∴， ∴数列是以为公比的等比数列，而，所以， ∴当时，， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题. 6、D 【答案解析】 如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积. 【题目详解】 如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，. 因为，故， 因为，故. 由正弦定理可得，故，又因为，故. 因为，故平面，所以， 因为平面，平面，故，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度. 7、D 【答案解析】 先用公差表示出，结合等比数列求出. 【题目详解】 ,因为成等比数列，所以，解得. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 8、D 【答案解析】 计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【题目详解】 ，，， 当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确； ，， 故，函数关于对称，故④正确； 根据图像知：①③不正确； 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 9、A 【答案解析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【题目详解】 ∵x∈（0，1）， ∴a＝lnx＜0， b＝（）lnx＞（）0＝1， 0＜c＝elnx＜e0＝1， ∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10、A 【答案解析】 首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间. 【题目详解】 当时，. 当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以 令，得，因为，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11、A 【答案解析】 利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解 【题目详解】 由题意，支出在（单位：元）的同学有34人 由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为 ． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 12、A 【答案解析】 首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【题目详解】 由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形， 设中点为，连接，，可知，， 同时易知，， 所以面，故即为与面所成角， 有， 故. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，