2023学年湖南省益阳市桃江第一中学高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知是边长为的正三角形，若，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（　　） A． B． C． D． 6．已知函，，则的最小值为（ ） A． B．1 C．0 D． 7．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A． B． C． D． 8．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A．1 B． C． D．0 9．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( ) 发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A．2 B．3 C．3.5 D．4 10．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在的二项展开式中，所有项的系数的和为________ 14． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 15．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________. 16．展开式中，含项的系数为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为. （1）求的直角坐标方程和的直角坐标； （2）设与交于，两点，线段的中点为，求. 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，. （1）求A的余弦值； （2）求△ABC面积的最大值． 19．（12分）已知，，，，证明： （1）； （2）. 20．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵． 21．（12分）已知函数． (Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间； (Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围． 22．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分别是AB，A1C的中点. （1）求证：直线MN⊥平面ACB1； （2）求点C1到平面B1MC的距离. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解. 【题目详解】 根据空间向量的线性运算可知 因为,， 则 即， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题. 2、B 【答案解析】 求出中不等式的解集确定出集合，之后求得. 【题目详解】 由， 所以， 故选：B. 【答案点睛】 该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 3、A 【答案解析】 由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A． 4、A 【答案解析】 根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果. 【题目详解】 ， ，解得： 故选： 【答案点睛】 本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则. 5、B 【答案解析】 根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【题目详解】 在复平面内对应的点的坐标为，则， ， ∵， 代入可得， 解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 6、B 【答案解析】 ，利用整体换元法求最小值. 【题目详解】 由已知， 又，，故当，即时，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 7、B 【答案解析】 利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解. 【题目详解】 由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【题目详解】 由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由， 白蚂蚁爬完2020段后到回到C点； 同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点， 所以它们此时的距离为. 故选B. 【答案点睛】 本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题. 9、C 【答案解析】 根据表中数据，即可容易求得中位数. 【题目详解】 由图表可知，种子发芽天数的中位数为， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查中位数的计算，属基础题. 10、D 【答案解析】 先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解. 【题目详解】 由题得函数的定义域为. 因为， 所以为上的偶函数， 因为函数都是在上单调递减. 所以函数在上单调递减. 因为， 所以，且， 解得. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11、B 【答案解析】 结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 解：若，则，即成立， 若，则由，得， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题． 12、B 【答案解析】 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解. 【题目详解】 ,所以离心率, 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有, 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即, 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 设，令，的值即为所有项的系数之和。 【题目详解】 设，令， 所有项的系数的和为。 【答案点睛】 本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地， 对于 ，展开式各项系数之和为，注意与“二项式系数之和”区分。 14、 【答案解析】 画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【题目详解】 如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为， 因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,, 可得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解． 【题目详解】 解：由， 得， ， 则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列． ， ． ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题． 16、2 【答案解析】 变换得到，展开式的通项为，计算得到答案. 【题目详解】 ，的展开式的通项为：. 含项的系数为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），（2） 【答案解析】 （1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标； （2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得． 【题目详解】 （1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1， 设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，）， 所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1， 所以点P的直角坐标为（1，1）． （2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0， 因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2， 则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2， 依题意，点M对应的参数为， 所以|PM|＝||． 【答案点睛】 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 18、（1）；（2） 【答案解析】 （1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案. （2）计算，再利用面积公式计算得到答案. 【题目详解】 （1），则， 即，故，，故. （2），故，故. 当时等号成立. ，故，，故△ABC面积的最大值为. 【答案点睛】 本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 19、（1）证明见解析（2）证明见解析 【答案解析】 （1）先由基本不等式可得，而，即得证； （2）首先推导出，再利用，展开即可得证. 【题目详解】 证明：（1）， ， ， （当且仅当时取等号）. （2），，，， ， ， ， . 【答案点睛】 本题考查不等式的证明，考