利用第一型曲线积分求旋转曲面面积注记_王文龙.pdf

收稿日期2 0 2 2-0 6-0 7;修改日期2 0 2 2-0 9-0 2 基金项目黑龙江省高等教育教学改革项目(S J G Y 2 0 2 1 0 0 4 2);东北林业大学教育教学研究项目(D G Y Z D 2 0 2 1-0 3)作者简介王文龙(1 9 7 7-),男,硕士,副教授,从事泛函微分方程理论及应用的研究.E-m a i l:w w l n e f u.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2利用第一型曲线积分求旋转曲面面积注记王文龙,谭 畅,曲智林(东北林业大学 理学院,哈尔滨1 5 0 0 4 0)摘 要将利用第一型曲线积分计算坐标平面上曲线绕定直线旋转的旋转曲面面积的方法推广到求空间曲线绕空间中定直线旋转的旋转曲面面积,丰富了求旋转曲面面积教学的内容.关键词第一型曲线积分;旋转曲面;面积 中图分类号O 1 8 2.2 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 7 9-0 51 引 言旋转曲面面积的计算是高等数学中的一个重要问题,一些教材1-2给出了平面光滑曲线绕坐标轴旋转形成的旋转曲面面积公式.文献3 给出了平面光滑曲线段绕同平面内直线旋转所成的旋转曲面的面积公式,文献4-5 讨论了以参数方程给出的空间曲线绕空间定直线形成的旋转曲面面积的计算,作为此结果的进一步完善,本文分别在空间曲线以参数方程及多项式方程组形式的一般方程描述时,给出了空间光滑曲线绕空间直线形成的旋转曲面面积的计算方法.2 坐标面上曲线段绕定直线旋转所得旋转曲面面积的思想方法设ly=f(x)(axb)为x O y平面上的曲线段,其中f(x)具有一阶连续的导数,LA x+B y+C=0为x O y面上一条直线,曲线段l上任一点(x,y)到直线L的距离为D=A x+B y+CA2+B2,则曲线l绕直线旋转一周所得旋转曲面的面积3为S=l2D ds=l2A x+B y+CA2+B2ds=ba2A x+B f(x)+CA2+B21+f 2(x)dx.(1)例1 求直线段ly=x+3(0 x1)绕直线L:2x-y+1=0旋转一周所得旋转曲面的面积.解 线段l绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=l2D ds=l22x-y+15ds=1022x-(x+3)+151+1 dx=3 1 05.例2 求曲线段ly=12x2+2(0 x1)绕直线Lx-y+1=0旋转一周所得到的旋转曲面的面积.解 曲线段l上任一点(x,y)到直线L的距离为D=x-y+12,根据公式(1),则曲线段l绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=l2D ds=l2x-y+12ds=102x-12x2-121+x2dx =1022(x2-2x+2)1+x2dx=24 8(4 4 2-1 4+4 2 l n(2+1).3 空间曲线段绕定直线旋转所得旋转曲面面积注记3.1 空间曲线以参数方程给出时旋转曲面面积的计算定理1 设空间曲线段方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)(atb),其中x(t),y(t),z(t)具有一阶连续导数,Lx-x0m=y-y0n=z-z0p为空间中一条定直线,M x(t),y(t),z(t)为曲线段上任一点,则曲线段绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=ba2 g(t)x(t)2+y(t)2+z(t)2dt.(2)其中g(t)=p(y(t)-y0)-n(z(t)-z0)2+m(z(t)-z0)-p(x(t)-x0)2+n(x(t)-x0)-m(y(t)-y0)2m2+n2+p2.证 记M0(x0,y0,z0),M0M=x(t)-x0,y(t)-y0,z(t)-z0,直线L的方向向量s=m,n,p,故曲线段上任一点M(x(t),y(t),z(t)到直线L的距离为g(t)=|M0Ms|s|=ijkx(t)-x0y(t)-y0z(t)-z0mnpm2+n2+p2=p(y(t)-y0)-n(z(t)-z0)2+m(z(t)-z0)-p(x(t)-x0)2+n(x(t)-x0)-m(y(t)-y0)2m2+n2+p2,则曲线段绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=2 g(t)ds=ba2 g(t)x(t)2+y(t)2+z(t)2dt.注 定理1得到的曲面面积公式在形式上与所给的直线方程有关,其中涉及直线上所取定点M0(x0,y0,z0)及直线给定的方向向量s=m,n,p.为说明公式的确定性,另取直线L上任意其它点M 0(x 0,y 0,z 0)及直线的另一方向向量s=k m,k n,k p,由点M 0在直线上L上,故x 0-x0=m,y 0-y0=n,z 0-z0=p,将M 0与s 代入g(t)公式得g(t)=ijkx(t)-x 0y(t)-y 0z(t)-z 0k mk nk p|k|m2+n2+p2 =ijkx(t)-x0-m y(t)-y0-n z(t)-z0-pk mk nk p|k|m2+n2+p2=ijkx(t)-x0y(t)-y0z(t)-z0mnpm2+n2+p2.08大 学 数 学 第3 8卷因此,公式(2)与直线上点的选取及直线方向向量的选取无关.例3 已知直线x-21=y-31=z-21,求直线上从点A(2,3,2)到点B(3,4,3)的一段绕直线Lx-11=y2=z-11旋转一周所得旋转曲面的面积.解 x-21=y-31=z-21的参数方程为x=t+2,y=t+3,z=t+2(0t1),设M(x,y,z)为 直 线 段上 任 一 点;取 直 线L的 方 向 向 量s=2,4,2,取M0(3,4,3),则 有M0M=x-3,y-4,z-3.直线段上任一点M(x,y,z)到直线L的距离为g(t)=M0Ms|s|=ijkx-3y-4z-32422 6=(y-2z+2)2+(z-x)2+(2x-y-2)26,则上直线段A B绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=(A,B)2 g(t)ds=102(1-t)2+02+(t-1)2612+12+12dt=.例4 求曲线段x=t2,y=8t,z=t2(0t1)绕直线Lx-11=y2=z-11旋转一周所得旋转曲面的面积.解 设M(x,y,z)为曲线段上任一点;直线L的方向向量s=1,2,1,取M0(1,0,1),则有M0M=x-1,y,z-1.曲线段上任一点M(x,y,z)到直线L的距离为g(t)=M0Ms|s|=ijkx-1y z-11216=(y-2z+2)2+(z-x)2+(2x-y-2)26,则曲线段绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=2 g(t)ds=103 2(4t-t2+1)1+t26dt=12 4(5 5 2-3 2+3 l n(2+1).3.2 空间曲线以多项式方程组给出时旋转曲面面积的计算前文已得出空间曲线在参数方程下绕定直线旋转所得的旋转曲面面积公式,若空间曲线段以一般方程F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0 给出,且F(x,y,z),G(x,y,z)是实数域上的三元多项式,借助于多项式理想的G r o e b n e r基理论6,7,可将此一般方程转化为参数方程,从而解决此问题.设K是一个数域,K上的n元多项式全体记为Kx1,x2,xn.引理1(S h a p e引理)8 假设I是Kx1,x2,xn中的零维根理想,且其零点集的第n个坐标xn互不相同,G为I在字典序x1l e xx2l e xl e xxn下的G r o e b n e r基,则G中含有如下n个元:x1+h1xn ,xn-1+hn-1xn ,xmn+hnxn ,其中h1,h2,hn为xn的次数不超过m-1的单变量多项式.记为实数域,假设F,G y,z 0,则方程组F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0 可确定一元函数y=y(x),z=z(x).将x看作常数,视F(x,y,z),G(x,y,z)为x的有理函数域(x)上的以y,z为自变量的多项式,则多项式F(x,y,z),G(x,y,z)在(x)y,z 上生成零维理想I.则由S h a p e引理,I的G r o e b n e r基具有形式y+gx(z),zm+hx(z),其中gx(z),hx(z)为(x)z 上的多项式.若由zm+hx(z)=0解得z=z(x),将其代入y+gx(z)=0,可解得y=y(x),由此即得曲线的参数表示:x=x,y=y(x),z=z(x).例5 求曲线段:z3+x2z+x2y-x z-x3=0,x y+z2-z=0 从点A(0,1,0)到点B(2,-1,2)的一段绕直18第6期 王文龙,等:利用第一型曲线积分求旋转曲面面积注记线Lx2=y-1=z-11旋转一周所得旋转曲面的面积.解 将x作为参数,多项式z3+x2z+x2y-x z-x3,x y+z2-z在多项式环(x)y,z 上字典序yl e xz下G r o e b n e r基为z3-x z2+x2z-x3,x y+z2-z ,由z3-x z2+x2z-x3=0可解得z=x,代入x y+z2-z=0可得y=1-x,于是曲线参数方程为x=x,y=1-x,z=x.设M(x,y,z)为曲 线 段上 任 一 点,直 线L的 方 向 向 量s=2,-1,1,取M0(0,0,1),则 有M0M=x,y,z-1.曲线段上任一点M(x,y,z)到直线L的距离为g(x)=M0Ms|s|=ijkxyz-12-116=(y+z-1)2+(2z-2-x)2+(x+2y)26,则曲线段绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=2 g(x)ds=220 x2-4x+4 dx=4.此题若将y作为参数,可得曲线参数方程为x=1-y,y=y,z=1-y.设M(x,y,z)为曲线段上任一点,直线L的方向向量s=2,-1,1,取M0(0,0,1),则有M0M=1-y,y,-y,曲线段上任一点M(x,y,z)到直线L的距离为g(y)=M0Ms|s|=ijk1-yy-y2-116=2y2+4y+26,则曲线段绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=22y2+4y+26ds=21-1y+1 dy=4.4 结 论本文给出了利用第一型曲线积分求空间曲线绕空间定直线旋转所得旋转曲面面积的两点注记.对于空间曲线方程是参数形式或者多项式方程组给出的一般形式,旋转曲面的面积一定可由第一型曲线积分表示,进而转化为定积分形式,通过实例分析可知,该方法是可行的.对于一些旋转曲面面积的积分表达式较为复杂的情况,如果不能求得面积的精确值,可以利用数值积分求其面积的近似值.若空间曲线以其它形式的一般方程给出,其参数方程的获得一般较为困难,相应旋转曲面面积的计算是一个难点,有待于进一步的研究.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 同济大学数学系.高等数学:下册 M.6版.北京:高等教育出版社,2 0 1 4:2 5-2 6.2 华东师范大学数学系.数学分析:上册M.3版.北京:高等教育出版社,2 0 0 1:2 5 4-2 5 5.3 储理才.一个计算旋转曲面面积的积分公式J.高等数学研究,2 0 0 1,4(1):1 3-1 4.4 丁殿坤.旋转曲面的面积及围成立体体积的求法J.大学数学,2 0 0 7,2 3(4):1 8 4-1 8 7.5 陈珍培.空间曲线绕任意轴的旋转面面积J.大学数学,2 0 1 5,3 1(1):1 2 1-1 2 3.6 张树功,雷娜,刘停战.计算机代数基础:代数与符号计算的基本原理M.北京:科学出版社,2 0 0 5:4 4-5 0.7 周梦.计算机代数与应用M.武汉:武汉大学出版社,2 0 0 2:3 4-3 5.8 B E C K E R E,WO RMANN T.R a d i c a lc o m p u t a t i o no faz e r o-d i m e n s i o n a li d e a la n dr e a lr o