[收稿日期]2022-06-07;[修改日期]2022-09-02[基金项目]黑龙江省高等教育教学改革项目(SJGY20210042);东北林业大学教育教学研究项目(DGYZD2021-03)[作者简介]王文龙(1977-),男,硕士,副教授,从事泛函微分方程理论及应用的研究.E-mail:wwl@nefu.edu.cn第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022利用第一型曲线积分求旋转曲面面积注记王文龙,谭畅,曲智林(东北林业大学理学院,哈尔滨150040)[摘要]将利用第一型曲线积分计算坐标平面上曲线绕定直线旋转的旋转曲面面积的方法推广到求空间曲线绕空间中定直线旋转的旋转曲面面积,丰富了求旋转曲面面积教学的内容.[关键词]第一型曲线积分;旋转曲面;面积[中图分类号]O182.2[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0079-051引言旋转曲面面积的计算是高等数学中的一个重要问题,一些教材[1-2]给出了平面光滑曲线绕坐标轴旋转形成的旋转曲面面积公式.文献[3]给出了平面光滑曲线段绕同平面内直线旋转所成的旋转曲面的面积公式,文献[4-5]讨论了以参数方程给出的空间曲线绕空间定直线形成的旋转曲面面积的计算,作为此结果的进一步完善,本文分别在空间曲线以参数方程及多项式方程组形式的一般方程描述时,给出了空间光滑曲线绕空间直线形成的旋转曲面面积的计算方法.2坐标面上曲线段绕定直线旋转所得旋转曲面面积的思想方法设l∶y=f(x)(a≤x≤b)为xOy平面上的曲线段,其中f(x)具有一阶连续的导数,L∶Ax+By+C=0为xOy面上一条直线,曲线段l上任一点(x,y)到直线L的距离为D=Ax+By+CA2+B2,则曲线l绕直线旋转一周所得旋转曲面的面积[3]为S=∫l2Dπds=∫l2πAx+By+CA2+B2ds=∫ba2πAx+Bf(x)+CA2+B21+f'2(x)dx.(1)例1求直线段l∶y=x+3(0≤x≤1)绕直线L:2x-y+1=0旋转一周所得旋转曲面的面积.解线段l绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=∫l2Dπds=∫l2π2x-y+15ds=∫102π2x-(x+3)+151+1dx=3105π.例2求曲线段l∶y=12x2+2(0≤x≤1)绕直线L∶x-y+1=0旋转一周所得到的旋转曲面的面积.解曲线段l上任一点(x,y)到直线L的距离为D=x-y+12,根据公式(1),则曲线段l绕直线L旋转一周所得旋转曲面的面积为S=∫l2Dπds=∫l2πx-y+12ds=∫102πx-12x2-121+x2dx=∫1022π(x2-2x+2)1+x2dx=248π(442-14+42ln(2+1)).3空间曲线段绕定直线旋转所得旋转曲面面积注记3.1空间曲线以参数方程给出时旋转曲面面积的计算定理1设空间曲线段Γ方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)(a≤t≤b),其中x(t),y(t),z(t)具有一阶连续导数,L∶x-x0m=y...
