具有治疗和Beddingt...的时滞肺结核传染病模型研究_桑媛.pdf

高校应用数学学报2023,38(1):37-52具有治疗和Beddington-DeAngelis发生率的时滞肺结核传染病模型研究桑媛1,2,宋冰1,2,张育茹1,2,张龙1,2(1.新疆大学 数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐 830017;2.新疆维吾尔自治区应用数学重点实验室,新疆乌鲁木齐 830017)摘要:建立了一类具有疾病治疗和Beddington-DeAngelis发生率的时滞肺结核传染病模型,给出了基本再生数R0的表达式.当R0 1时,地方病平衡点是全局渐近稳定的.数值模拟演示了所得的理论结果的有效性,研究发现考虑肺结核快速发展阶段的潜伏期时滞及在此期间的发病率能够更好地模拟肺结核病的动力学行为,提高肺结核病的治愈率可以更好的预防和控制肺结核病的传播.关键词:疾病治疗;基本再生数;时滞;Beddington-DeAngelis功能反应;全局渐近稳定性中图分类号:O175.14文献标识码:A文章编号:1000-4424(2023)01-0037-161引言结核病(TB)是由结核分枝杆菌(MTB)感染引起的一种慢性传染病,是全球十大死亡原因之一,也是单一传染病造成的主要死亡原因(排名高于艾滋病毒/艾滋病)1.这种疾病通常影响肺部(肺结核),但也可影响其他部位(肺外结核).根据世卫组织2020年的报告1,世界上约有四分之一的人口感染了结核分枝杆菌.肺结核根据有无传染性分为活动性肺结核及非活动性肺结核,当个体最初感染结核分枝杆菌时,发展为活动性肺结核的概率较高,而随着时间的推移,个体发展为活动性肺结核病的概率会大幅降低,因此,人们通常将肺结核病分为两个阶段:快速发展阶段与慢速发展阶段.据统计,快速发展阶段的潜伏期平均为五年.个体发展为活动性肺结核病通常有三种原因2:第一种为收稿日期:2022-01-03修回日期:2022-08-24*通讯作者,E-mail:longzhang 基金项目:国家自然科学基金(12261087;11861065);新疆维吾尔自治区自然科学杰出青年基金(2022D01E41);新疆维吾尔自治区高校科研重点项目(XJEDU2021I002);新疆维吾尔自治区应用数学重点实验室开放课题(2021D04014);新疆维吾尔自治区优秀青年科技创新人才项目(2019Q017)DOI:10.13299/ki.amjcu.00224938高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期原发性感染,第二种为内源性激活,第三种为外源性再感染.此外,肺结核患者还可能发生与其他疾病的混合感染,从而产生更复杂的动力学行为3-4.肺结核病是可治愈和可预防的.自2000年以来,肺结核病治疗已避免了6000多万人的死亡.然而获得肺结核病治疗的机会仍未达到全民健康覆盖面,数百万人也错过了诊断和护理,肺结核病仍是全球面临的巨大风险和考验.数学模型一直是研究流行病传播机制的一个非常有用和重要的工具,Waaler5于1962年建立了一个模型.Brogger6在1967年改进了Waaler的模型.以Brogger和Waaler的模型为模板,Revelle7引入了第一个模拟肺结核病动力学的非线性微分方程模型.早期关于肺结核病传播的数学模型主要是由统计学家开发的,他们并没有对模型进行定性分析,也没有研究模型的长期行为(渐近性质).从二十世纪九十年代开始,肺结核病再次在很多国家爆发,人们重新开始关注数学模型在肺结核病方面的应用,考虑到肺结核的快速发展阶段与慢速发展阶段,一些研究人员构建了一系列肺结核病进展和传播的动力学模型8-11.Blower等人9建立了一类肺结核传染病模型dS(t)dt=S(t)I(t)S(t),dL(t)dt=(1 p)S(t)I(t)L(t)L(t),dI(t)dt=pS(t)I(t)+L(t)dI(t)I(t),(1)其中S(t),L(t),I(t)分别表示t时刻易感个体的数量,已被感染但不具备传染性的个体数量和被感染且具有传染性的个体数量.代表易感个体的外部输入率,表示个体的自然死亡率,表示从L仓室到I仓室的疾病发生率,d表示感染个体的因病死亡率,代表易感个体和感染个体(具备传染性)之间的传输速率,pSI表示易感个体与感染个体接触成为活动性肺结核病(即快速发展肺结核病例)的数量,(1 p)SI表示易感个体与感染个体接触成为已被感染但不具备传染性的个体数量(即慢速发展肺结核病例)的数量.这意味着,占比1 p的部分具有一些对肺结核病的先天保护,而其余占比p的部分注定在感染后立即具有传染性,不符合肺结核病现实的发病机制;并且获得比例参数p的参数值是很困难的.为了解决这个问题,一些作者使用了可变进展率,例如Feng等人12使用了带有分布时滞的潜伏期;Vynnycky等人13建立了包括年龄和感染成熟的偏微分方程刻画并研究肺结核的动力学行为;而Colijn等人2建立了一类时滞微分方程肺结核传染病模型dS(t)dt=S(t)I(t)S(t),dL(t)dt=S(t )I(t )e(+pl)+I(t )(L(t )+T(t )e(+pr)L(t)I(t)kL(t)L(t)+rsI(t),dI(t)dt=S(t )I(t )e(1 epl)+I(t )(L(t )+T(t )e(1 epr)+kL(t)+T(t)rsI(t)dI(t)rI(t),dT(t)dt=rI(t)T(t)I(t)T(t)T(t)(2)来描述疾病进展对感染后时间的依赖性,其中L(t)表示慢速发展阶段感染且不具备传染性的个桑媛等:具有治疗和Beddington-DeAngelis发生率的时滞肺结核传染病模型研究39体数量,T(t)表示恢复个体的数量,易感个体与具备传染性个体接触后会进入肺结核的快速发展阶段,这一阶段持续的时间记作,即快速发展阶段的潜伏期,在此期间,个体以pl的速率发展为活动性肺结核病,仓室L和仓室T中个体再次与具备传染性的个体接触并以pr的速率发展为活动性肺结核病,k表示L仓室中个体的内源激活率,r表示感染且具备传染性个体的治愈率,rs表示感染且具备传染性个体的自愈率,表示恢复个体的疾病复发率.Okuonghae14对模型(2)进行了一些讨论,验证了无病平衡点的局部稳定性,并得到了无病平衡点全局稳定性的一个必要条件.双线性和标准发病率在数学中分析更为简单,然而,非线性发病率在描述人群之间的传播交互作用时更为精确,Xu15在2014年考虑了时滞以及比例依赖发生率,建立了一类传染病模型,进一步地,Li等人16建立了一类具有Beddington-DeAngelis发生率和时滞的肺结核传染病模型dS(t)dt=S(t)I(t)1+S(t)+I(t)S(t),dL(t)dt=S(t)I(t)1+S(t)+I(t)L(t)S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e,dI(t)dt=S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e+T(t)(+r+d)I(t),dT(t)dt=rI(t)(+)T(t),(3)其中L(t)表示感染且不具备传染性的个体数量,表示疾病的潜伏期,分别表示仓室S与仓室L中个体对肺结核病的预防水平,其余参数的含义均与上述所提及同一参数符号的含义保持一致.Colign等人2建立了两个肺结核模型,第一个为上述的模型(2),另一个为网络模型,旨在探索人口接触结构的作用.他们在建立模型(2)的过程中比较全面地考虑了肺结核的现实发病机制,如可变的疾病进展率,内源性激活,以及感染且不具备传染性的个体及恢复个体仍有被传染性(外源性再感染)等因素,但使用的为双线性发生率函数,且没有对模型(2)进行稳定性分析.Okuonghae14对模型(2)进行了一些定性分析,主要探讨外源性再感染对疾病动力学的作用,然而在现实中,这些人口的比例并不高17,同时对模型的分析困难较大,所得研究成果较少.模型(3)引入了非线性的发生率函数与时滞,在易感个体与具备传染性个体接触后会全部进入到仓室L中,在疾病的潜伏期过后,存活下来的个体全部进入到仓室L之中,没有考虑到肺结核病通常会集中在快速发展阶段期间发病,而随着感染年限的增长发病率大幅降低,有一部分个体甚至会终生潜伏感染14;也没有考虑到感染且不具备传染性的个体的内源性激活.且在实际中,对感染且不具备传染性的患者进行治疗是肺结核病防治过程中非常关键的因素8,模型(2)-(3)均没有考虑这一点.参考模型(2)的建模方式并考虑Beddington-DeAngelis发生率,易感个体S(t)在感染后会进入“快速发展阶段”潜伏期,这一阶段将持续年,在此期间,个体以pl的速率发展为活动性肺结核病,并以的速率死亡,“快速发展阶段”潜伏期仓室L1(t)由L1(t)=ttS(s)I(s)1+S(s)+I(s)e(+pl)(ts)ds给出,则有dL1(t)dt=(+pl)L1(t)+S(t)I(t)1+S(t)+I(t)S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e(+pl),40高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期其中项S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e(+pl)离开L1(t)仓室,进入“慢速发展阶段”L(t),而项plL1(t)表示在“快速发展阶段”潜伏期存活并发展为活动性肺结核病的人数,由此感染仓室I(t)获得感染项S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e(1 epl).基于以上考虑,且与模型(3)相同,暂时忽略掉了外源性再感染这一因素,并增加了对感染且不具备传染性的个体的内源性激活与治疗,建立一类具有治疗和Beddington-DeAngelis发生率的时滞肺结核传染病模型dS(t)dt=S(t)I(t)1+S(t)+I(t)S(t),dL(t)dt=S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e(+pl)(+k+r1)L(t),dI(t)dt=S(t )I(t )1+S(t )+I(t )e(1 epl)+kL(t)(+d+r2)I(t)+T(t),dT(t)dt=r1L(t)+r2I(t)(+)T(t),(4)其中L(t)表示慢速发展阶段感染且不具备传染性的个体数量,r1,r2分别表示L仓室和I仓室中个体的治愈率,其余参数的含义均与上述提所及同一参数符号的含义保持一致.文章结构如下:2讨论模型(4)全局正解的存在性及最终有界性;3讨论模型(4)平衡点的存在性;计算基本再生数R0讨论平衡点的局部渐近稳定性;4研究平衡点的全局渐近稳定性;5通过数值模拟演示理论成果的有效性;6给出一个简要总结.2 全局正解的的存在性及最终有界性模型(4)的初始条件为S()=1(),L()=2(),I()=3(),T()=4(),0,(5)其中=(1,2,3,4)T C(,0,R4+),i()0(0,i=1,2,3,4),C是将,0映射到R4+内的连续函数Banach空间,其中R4+=(x1,x2,x3,x4)R4,xi 0,i=1,2,3,4).定定定理理理2.1令(S(t),L(t),I(t),T(t)T是模型(4)满足初始条件(5)的任意解,则其在0,+)上是非负的,且是最终有界的.证证证根据文献18中的定理1.1,考虑下列系统dx(t)dt=F(x(t)+D(x(t ),其中t R,x(t)Rn;F:Rn Rn为Lipschitz连续函数,D:Rn Rn为连续函数,F=F1,F2,FnT,D=D1,D2,DnT,且常数 0.在模型(4)中F(x(t)=x1(t)x3(t)1+x1(t)x3(t)x1(t)(+k+r1)x2(t)kx2(t)(+d+r2)x3(t)+x4(t)r1x2(t)+r2x3(t)(+)x4(t),(6)桑媛等:具有治疗和Beddington-DeAngelis发生率的时滞肺结核传染病模型研究41D(x(t )=0S(t)I(t)1+S(t)+I(t)e(+pl)S(t)I(t)1+S(t)+I(t)e(1 epl)0.(7)由泛函微分方程解的存在唯一性定理19知,模型(4)在初始条件(5)下的解x(t)=(S(t),L(t),I(t),T(t)T在0,T)存在且唯一,