具有时变杠杆效应的已实现GARCH模型_林金官.pdf

DOI 编码：10.19820/ki.ISSN2096-7411.2023.01.003基金项目国家自然科学基金项目（11971235，11831008）；江苏省自然科学基金青年项目（BK20210678）；全国统计科学研究优选项目（2021LY019）；江苏省高等学校自然科学研究面上项目（21KJB110022）作者简介林金官（1964），男，安徽滁州人，南京审计大学统计与数据科学学院教授，博士生导师，主要研究方向是金融统计、统计诊断与计量经济；毛义之（1998），男，安徽宣城人，南京审计大学统计与数据科学学院硕士研究生，主要研究方向是金融统计；郝红霞（1988），女，山西长治人，南京审计大学统计与数据科学学院教师，统计学博士，主要研究方向是金融统计和非参数估计。具有时变杠杆效应的已实现 GARCH 模型林金官，毛义之，郝红霞（南京审计大学 统计与数据科学学院，江苏 南京 211815）摘要杠杆效应是金融市场中的一种常见现象。为了更好地刻画杠杆效应的时变性，首先基于线性样条函数将时变杠杆效应引入了经典已实现GARCH 模型，得到了具有时变杠杆效应的已实现 GARCH 模型，并给出了模型的参数估计及其算法。其次，模拟研究了本文所提模型在有无杠杆效应、不同样本容量及不同噪声选取下的有限样本表现。最后，利用伦敦富时100 指数实证分析了本文所提模型相比于经典已实现 GARCH 模型的优越性。关键词已实现波动率；GARCH 模型；时变杠杆效应；杠杆函数中图分类号O212文献标识码A文章编号2096-7411（2023）01-0023-13Realized GARCH Model with the Time-Varying Leverage EffectLIN Jin-guan,MAO Yi-zhi,HAO Hong-xia（School of Statistics and Data Science,Nanjing Audit University,Nanjing 211815,China）Abstract:Leverage effect is a common phenomenon in financial markets.In order to better describe the time-varying leverageeffect,this paper introduced the time-varying leverage effect into the classical realized GARCH model based on linear spline function,and obtained the realized GARCH model with the time-varying leverage effect.The parameter estimation of the model and itsalgorithm have also been listed.Then,we simulated and analayzed the finite sample performance of the proposed model with orwithout leverage effect,different sample sizes and different parameters.Finally,the advantages of the proposed model compared withthe classical realized GARCH model were empirically analyzed by using the FTSE 100 index.Key Words:realized volatility;GARCH model;time-varying leverage effect;leverage function一、引言2021 年 11 月 11 日习近平总书记在党的十九届六中全会第二次全体会议上表示：“必须进行具有许多新的历史特点的伟大斗争，必须准备付出更为艰巨、更为艰苦的努力，必须高度重视和切实防范化解各种重大风险。”近些年来我国愈加注重金融市场的风险问题，现实中的金融市场瞬息万变，风险与收益并存，究其原因是市场中存在着各种不稳定因素。常见的金融风险有：市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险。其中，市场风险是指由于利率、汇率、商品价格等不稳定因素的变动而导致的资产价值变化带来的风险；信用风险是指由于借款方违约而造JOURNAL OF STATISTICS2023年2月第4卷 第1期Feb.，2023Vol.4 No.123C MY K统计学报2023 年第 1 期林金官，等：具有时变杠杆效应的已实现 GARCH 模型成贷款方资产损失的风险；流动性风险是指市场参与者因为资产流动性降低而导致其资产难以变现，从而导致资金链断裂带来的风险；操作风险是指由于金融市场管理中出现人为失误而导致市场参与者资产损失的风险。鉴于市场风险中包含的不稳定因素较多，对这些不稳定因素进行刻画可以更好地了解金融市场的发展现状，从而有效防范“黑天鹅”事件和“灰犀牛”事件，这对于金融市场的发展趋势预测和宏观市场调控具有指导性意义，有利于我国金融市场的健康发展，因此有众多学者对此展开研究。波动率是一种常用的刻画金融市场不稳定性的指标，严格定义为某一变量在单位时间内连续复利回报率的标准差，能够刻画金融资产价格的波动程度。在当今金融市场存在多种复杂的不稳定因素的情况下，波动率是衡量这些因素对金融市场影响的重要工具之一，可以用于评估市场存在的风险，因而在金融资本市场研究中具有举足轻重的地位，为众多学者所关注。二、理论阐述（一）波动率及其特征金融市场中的波动率具有多种特征，对这些特征进行刻画有利于对波动率进行深入研究，从而更好地掌握波动率的变化情况，也更好了解金融市场。波动率主要有五个特征。第一，聚集性，即在金融市场中某一时间段内的波动率会出现聚集现象，且高波动率与低波动率会交替出现。Kumar（2015）1利用倒向随机微分方程得到了无差异价格，并将其应用于含波动率聚集的股价随机波动率模型中，研究了波动率聚集对期权无差异价格的影响，得到了期权无差异价格及其隐含波动率的渐近性。第二，均值回归，即尽管波动率会随时间不断变动，但从长时间看，波动率通常会稳定在某个均值附近上下波动。Fouque 等（2000）2利用标普 500 数据证明了股市中存在快速均值回归现象，并基于该现象提出了一种随机波动率模型，该模型在后来被广泛应用于金融衍生品定价领域。第三，时变性，即波动率会随时间变化而变化，并非一个定值。Bollerslev 等（2016）3提出了一种基于已实现波动率的预测模型，该模型可用于刻画已实现波动率的测量误差随时间变化的特征，能够更好反映快速变化的资本市场，从而实现更好的样本内预测和样本外预测。第四，跳跃性，即在遇到对股市有重大冲击的事件时，波动率会呈现出离散性特征，出现突然的增长或降低现象。Maheu 和McCurdy（2004）4将市场信息对于股市影响而产生的 波 动 率 分 为 平 常 信 息 导 致 的 连 续 性 波 动（continuous volatility，CV）和异常信息导致的跳跃性波动（jump volatility，JV），之后基于波动率的分类进行了建模，以更好描述不同信息对波动率的影响。第五，长记忆性，即在相距较远的不同时间段的同一波动率存在一定相关关系，这种关系会随着时间推移而衰减。Abbritti 等（2016）5提出了一种可以同时包含短记忆性（即在相距较近的不同时间段的同一波动率存在一定相关关系）和长记忆性的模型，并比较了模型在美国多支股票数据中的表现，以此证明了美国市场波动率存在一定的长记忆性。（二）GARCH 模型与杠杆效应由于无法直接观测现实市场中的波动率，现有相关文献建立了多种时间序列模型对波动率进行估计，其中如何改进和优化波动率建模一直是统计学关注的热点问题。波动率建模的相关研究可以追溯到 1982 年，Engle（1982）6在研究英国通货膨胀率的波动性时对收益率的滞后项进行了线性组合来表示与收益率方差相关的函数，提出了自回归条件异方差（ARCH）模型来描述收益与波动率之间的关系。尽管 ARCH 模型能够较好描述波动率的性质，但在利用实际数据时通常需要使用较高阶数，增加了计算量，故 Bollerslev（1986）7考虑将 ARCH 模型从自回归（AR）的形式推广到自回归滑动平均（ARMA）的形式，使用 ARMA 模型的形式表示方差，从而在ARCH 模型的基础上加入了波动率的自相关性，提出了广义自回归条件异方差（GARCH）模型。该模型是 ARCH 模型的推广，当 GARCH 模型的方差自回归系数均为 0 时，GARCH 模型就退化成了 ARCH模型，故 GARCH 模型具有 ARCH 模型的优点，且能够在简化计算的情况下描述较高阶的 ARCH 过程，比 ARCH 模型具有更好的适用性。此后，学者们在GARCH 模型的基础上继续进行研究，针对 GARCH模型的限制进行了改进，提出了一系列衍生模型。例如，Nelson（1990）8放宽了 GARCH 模型的平稳性限定条件，得到了适用范围更广的积分广义自回归条件异方差模型（IGARCH），并研究了其稳定性和遍历性。在 GARCH 模型中，原有的收益率序列对条件方差的影响在于方差方程中的收益率平方项，这就导致当收益率滞后项的绝对值相等而正负不同时方差的变动值相同，即同等程度冲击下正负收益率对方差的影响程度相同。然而，Black（1976）9根据实际金融市场信息指出，同等程度利好消息和利空消息24C MY K统计学报2023 年第 1 期会导致公司资产产生不同程度的涨跌，从而对股票价格产生影响，产生非对称波动，造成市场不稳定性，这种非对称波动称为杠杆效应。这里的“利好消息”是指有利于股票价格指数上涨的消息，“利空消息”是指有利于股票价格指数下降的消息。在有效市场假说前提下，即假设市场参与者都是理性的前提下，基于杠杆效应思想有：当上市公司的收益增加时，其市值会随之增加，公司运转趋于稳定，其股票波动率会相应减小，潜在的金融风险也会降低；当上市公司收益减少时，其市值会随之减少，公司运转不稳定程度增加，其股票波动率也会相应增加，从而潜在的金融风险提高。根据前文描述，可以看出现有的GARCH 模型并未考虑到当前金融市场广泛存在的杠杆效应问题，因此有很多学者在 GARCH 模型的基础上提出了改进方案，构造了一系列基于杠杆效应改进的 GARCH 模型来描述杠杆效应的影响。比如，Nelson（1991）10基于杠杆效应现象考虑了加权扰动项来体现正负收益率的非对称性，将条件方差改写成对数形式，在收益率的滞后项中引入了与误差相关的函数以体现收益与波动率的关系，提出了指数自回归条件异方差（EGARCH）模型。Zakoian（1994）11在收益率滞后项序列中加入了门限条件以表示不同收益率情况下的不同系数取值，构造了门限 GARCH 模型（TGARCH），用来刻画杠杆效应的影响。（三）已实现 GARCH 模型上述 GARCH 族模型多采用日数据这种低频信息，而金融科技的发展已使得低频信息的使用逐渐难以适应快速变化的金融市场。金融科技的发展主要分为三个阶段：第一阶段发生在 18661986 年，被称为金融信息化阶段，在这个阶段金融行业刚刚开始信息化进程，逐渐舍弃传统的用纸张记录信息的手段，通过传统 IT 的软、硬件实现了金融业务的自动化、无纸化，从而降低了金融行业的运行成本，提高了金融办公效率；第二阶段发生在 19872009年，被称为互联网金融阶段，在该阶段互联网在各个领域得到了普及和应用，导致了大量信息科技公司的出现，他们利用网络技术在金融业务中实现了信息共享和业务融合，颠覆了传统金融行业的运行模式，也是在这段时间高频数据逐渐开始被